Оглавление
- 1 Однородные координаты
- 1.1 Введение в однородные координаты
- 1.2 Формулы и применение
- 1.3 Определение однородных координат
- 1.4 Пример с прямой
- 1.5 Обозначение и другие размеры
- 1.6 Альтернативное определение
- 1.7 Однородные координаты
- 1.8 Линейные координаты и двойственность
- 1.9 Координаты Плюккера
- 1.10 Круглые точки
- 1.11 Смена систем координат
- 1.12 Барицентрические координаты
- 1.13 Трехлинейные координаты
- 1.14 Использование в компьютерной графике
- 1.15 Отбрасывание z-координаты
- 1.16 Матричное представление проекции
- 1.17 Перспективная проекция пространства
- 1.18 Рекомендации и дальнейшее чтение
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Однородные координаты – Arc.Ask3.Ru
Однородные координаты
-
Введение в однородные координаты
- Введены Августом Фердинандом Мебиусом в 1827 году
- Используются в проективной геометрии аналогично декартовым координатам
- Преимущество: координаты точек, включая точки на бесконечности, могут быть представлены конечными координатами
-
Формулы и применение
- Формулы проще и симметричнее, чем декартовы аналоги
- Используются в компьютерной графике и компьютерном зрении
- Применяются в криптографии с эллиптическими кривыми
-
Определение однородных координат
- Умножение однородных координат на ненулевой скаляр дает новую точку
- Число координат на единицу больше размерности проективного пространства
- Пример: для проективной прямой нужны две координаты, для проективной плоскости — три
-
Пример с прямой
- Прямая через начало координат может быть представлена в однородных координатах
- В пределе при удалении точки от начала координат, Z стремится к нулю, и точка становится точкой на бесконечности
-
Обозначение и другие размеры
- Используются различные обозначения для однородных координат
- Аналогично для проективных пространств других размерностей
-
Альтернативное определение
- Проективная плоскость определяется как классы эквивалентности в R3
- Линии определяются как множества решений уравнений вида ax+by+cz=0
- Проективное пространство размерности n определяется как набор линий, проходящих через начало координат в Rn+1
-
Однородные координаты
- Однородные координаты определяются как функции, которые умножаются на скаляр при умножении на ненулевой скаляр.
- Однородные координаты могут быть преобразованы в однородные многочлены путем замены переменных.
- Однородные координаты используются для описания кривых и прямых в проективной геометрии.
-
Линейные координаты и двойственность
- Линейные координаты определяются как тройки чисел, определяющие линию на проективной плоскости.
- Линейные координаты могут быть использованы для описания точек и прямых в проективной геометрии.
- Двойственность в проективной геометрии позволяет заменять точки и прямые в теоремах.
-
Координаты Плюккера
- Метод Плюккера создает набор из шести координат для линий в проективном 3-пространстве.
- Метод обобщается для создания однородных координат элементов любого измерения в проективном пространстве.
-
Круглые точки
- Однородная форма уравнения окружности на проективной плоскости имеет вид x^2 + y^2 + 2axz + 2byz + cz^2 = 0.
- Пересечение окружности с линией, уходящей в бесконечность, приводит к круговым точкам на бесконечности.
-
Смена систем координат
- Выбор системы однородных координат произволен, но различные системы связаны друг с другом.
- Фиксированная матрица определяет новую систему координат через уравнение.
-
Барицентрические координаты
- Барицентрические координаты определяют положение точки как центра масс системы из трех точечных масс.
- Умножение масс на скаляр не влияет на центр масс, что делает их частным случаем однородных координат.
-
Трехлинейные координаты
- Трехлинейные координаты определяют точку как расстояние от нее до трех прямых на плоскости.
- Эти координаты можно сделать однородными, разрешив кратные значения для одной точки.
-
Использование в компьютерной графике
- Однородные координаты широко используются в компьютерной графике для представления векторных операций.
- Современные видеокарты используют однородные координаты для эффективной реализации вершинного шейдера.
- Перспективная проекция использует однородные координаты для точного представления трехмерных объектов.
-
Отбрасывание z-координаты
- Точка (x, y, z) становится (x/z, y/z)
- В однородных координатах точка (x, y, z) представлена (xw, yw, zw, w)
- Точка на плоскости представлена (xw, yw, zw)
-
Матричное представление проекции
- Проекция может быть представлена в матричном виде как (1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0)
- Матрицы, представляющие другие геометрические преобразования, могут быть объединены с этой матрицей путем матричного умножения
-
Перспективная проекция пространства
- Любая перспективная проекция пространства может быть представлена в виде единой матрицы
-
Рекомендации и дальнейшее чтение
- Жюль Блументаль и Джон Рокне, однородные координаты [1]
- Чинг-Куанг Шене, однородные координаты [2]
- Математический мир Вольфрама