Оглавление [Скрыть]
Однородный многочлен
-
Определение однородного многочлена
- Однородный многочлен имеет все ненулевые члены одинаковой степени.
- Пример: x5 + 2x3y2 + 9xy4.
- Пример неоднородного многочлена: x3 + 3x2y + z7.
-
Функции и алгебраические формы
- Функция, определяемая однородным многочленом, является однородной функцией.
- Алгебраическая форма — это функция, определяемая однородным многочленом.
- Двоичная форма — это форма с двумя переменными.
- Форма — это функция в векторном пространстве, выраженная как однородная функция координат.
-
Степени и свойства
- Многочлен степени 0 всегда однороден и является константой.
- Форма степени 1 является линейной формой.
- Форма степени 2 является квадратичной формой.
- Евклидово расстояние — это квадратный корень из квадратичной формы.
-
Роль в математике и физике
- Однородные многочлены широко распространены в математике и физике.
- Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии.
- Проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей множества однородных многочленов.
-
Свойства однородных многочленов
- Однородный многочлен определяет однородную функцию.
- Любой ненулевой многочлен можно разложить в сумму однородных многочленов.
- Однородные многочлены образуют векторное пространство.
- Размерность векторного пространства равна числу различных одночленов степени d от n переменных.
-
Тождество Эйлера
- Однородный многочлен удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций.
-
Гомогенизация и деомогенизация
- Неоднородный многочлен можно гомогенизировать, вводя дополнительную переменную.
- Гомогенизированный многочлен можно деомогенизировать, установив дополнительную переменную в 1.