Оглавление
- 1 Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
- 1.1 Определение ограниченного множества
- 1.2 История и эквивалентные определения
- 1.3 Локально выпуклые пространства
- 1.4 Свойства ограниченных множеств
- 1.5 Примеры и достаточные условия
- 1.6 Неограниченные множества
- 1.7 Свойства стабильности
- 1.8 Условие счетности Макки
- 1.9 Равномерно ограниченные множества
- 1.10 Равномерно ограниченные линейные операторы
- 1.11 Обобщение на топологические модули
- 1.12 Ограниченное множество
- 1.13 Борнологическое пространство
- 1.14 Множество первоядных
- 1.15 Ограниченная функция
- 1.16 Ограниченное операторно-линейное преобразование
- 1.17 Ограничивающая точка
- 1.18 Компактное пространство
- 1.19 Критерий нормируемости Колмогорова
- 1.20 Локальная ограниченность
- 1.21 Полностью ограниченное пространство
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
-
Определение ограниченного множества
- Множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным, если каждая окрестность нулевого вектора может быть увеличена, чтобы включить это множество.
- Множество, которое не ограничено, называется неограниченным.
-
История и эквивалентные определения
- Концепция была введена Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году.
- Существуют эквивалентные определения, такие как поглощение каждой окрестностью источника или существование скалярной функции, удовлетворяющей определенным условиям.
-
Локально выпуклые пространства
- В локально выпуклых пространствах прилагательное “выпуклый” может быть добавлено к определению.
- Колмогоров использовал это определение для доказательства полунормативности TVS.
-
Свойства ограниченных множеств
- Каждое счетное подмножество ограничено.
- В локально выпуклых пространствах выпуклая оболочка ограниченного множества также ограничена.
- Изображение ограниченного множества под непрерывным линейным отображением ограничено.
-
Примеры и достаточные условия
- Конечные множества ограничены.
- Каждое полностью ограниченное подмножество TVS ограничено.
- Замыкание источника всегда является ограниченным замкнутым векторным подпространством.
-
Неограниченные множества
- Существует пространство Фреше с ограниченным подмножеством и плотным векторным подпространством, где ограниченное подмножество не содержится в закрытии любого ограниченного подмножества плотного векторного подпространства.
-
Свойства стабильности
- Конечные объединения, суммы Минковского, скалярные кратные, преобразования, подмножества, замыкания, внутренние области и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены.
- В локально выпуклых TVS выпуклая оболочка ограниченного множества снова ограничена.
-
Условие счетности Макки
- Если B1, B2, B3, … является счетной последовательностью ограниченных подмножеств метризуемого локально выпуклого топологического векторного пространства X, то существует ограниченное подмножество B и последовательность r1, r2, r3, … положительных действительных чисел, таких, что Bi ⊆ riB для всех i ∈ N.
-
Равномерно ограниченные множества
- Семейство множеств B из подмножеств топологического векторного пространства Y называется равномерно ограниченным, если существует ограниченное подмножество D такое, что B ⊆ D для каждого B ∈ B.
- В нормированных пространствах B равномерно ограничен, если объединение B является ограниченным нормой.
-
Равномерно ограниченные линейные операторы
- Набор H линейных операторов между X и Y равномерно ограничен на C, если H равнопрорывен и C является выпуклым компактным хаусдорфовым подпространством X.
- Если H равнопрорывен, то существует окрестность U в X такая, что h(U) ⊆ W для каждого h ∈ H.
- Объединение h(C) ⊆ tW для некоторого t ≥ r, где r — реальное число.
-
Обобщение на топологические модули
- Определение ограниченных множеств может быть обобщено на топологические модули.
- Подмножество A из топологического модуля M над топологическим кольцом R называется ограниченным, если существует ограниченное подмножество D такое, что A ⊆ D для каждого A ∈ A.
-
Ограниченное множество
- Множество ограничено, если для любой окрестности N от 0 существует соседство w от 0 такое, что wA ⊆ B.
-
Борнологическое пространство
- Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
-
Множество первоядных
- Множество, которое может поглотить любое ограниченное подмножество.
-
Ограниченная функция
- Математическая функция, набор значений которой ограничен.
-
Ограниченное операторно-линейное преобразование
- Преобразование между топологическими векторными пространствами.
-
Ограничивающая точка
- Математическое понятие, связанное с подмножествами векторных пространств.
-
Компактное пространство
- Тип математического пространства.
-
Критерий нормируемости Колмогорова
- Характеристика нормируемых пространств.
-
Локальная ограниченность
- Обобщение компактности.
-
Полностью ограниченное пространство