Оператор Д’Аламбера

• Определение оператора Даламбера

  • Оператор Даламбера, также известный как волновой оператор, является оператором Лапласа в пространстве Минковского. 
  • Назван в честь Жана Ле Ронда д’Аламбера, французского математика и физика. 

• Выражение в пространстве Минковского

  • В стандартных координатах (t, x, y, z) оператор Даламбера имеет вид 
  • ∇2 является трехмерным лапласианом, а ημν — метрикой Минковского. 

• Инвариантность при преобразованиях Лоренца

  • Преобразования Лоренца сохраняют метрику Минковского, поэтому даламбертиан дает скаляр Лоренца. 

• Стандартные координаты и их инвариантность

  • Стандартные координаты в каждой инерциальной системе отсчета остаются действительными. 

• Альтернативные обозначения

  • Существуют различные обозначения для оператора Даламбера, включая символ коробки и символ ∂2. 
  • В квантовой теории поля частные производные обычно индексируются, что позволяет использовать символ ∂2 для даламбертиана. 

• Приложения оператора Даламбера

  • Волновое уравнение для малых колебаний имеет вид, где u(x, t) — смещение. 
  • Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме имеет вид, где Aμ — электромагнитный четырехпотенциальный коэффициент. 
  • Уравнение Клейна-Гордона имеет вид, где функция Грина определяется уравнением. 

• Специальное решение и рекомендации

  • Существует специальное решение для запаздывающей функции Грина, соответствующее распространению сигнала только вперед во времени. 
  • Ссылки на дополнительные материалы и рекомендации по использованию оператора Даламбера не указаны в статье.