Оглавление
- 1 Оператор лестницы
- 1.1 Определение лестничных операторов
- 1.2 Приложения в квантовой механике
- 1.3 Коммутационные соотношения
- 1.4 Свойства лестничных операторов
- 1.5 Применение в атомной и молекулярной физике
- 1.6 Лестничные операторы в квантовой механике
- 1.7 Водородоподобный атом
- 1.8 Факторизация гамильтониана
- 1.9 Трехмерный изотропный гармонический генератор
- 1.10 Вырождение энергии
- 1.11 Рекурсивное соотношение
- 1.12 Вырождение момента импульса и потенциала
- 1.13 Последовательность состояний
- 1.14 Связь с теорией групп
- 1.15 История
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Оператор лестницы
Оператор лестницы
-
Определение лестничных операторов
- Лестничные операторы увеличивают или уменьшают собственные значения других операторов.
- В квантовой механике они называются операторами созидания и уничтожения.
-
Приложения в квантовой механике
- Лестничные операторы используются в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента.
- Они также применяются в теории представлений и алгебре Ли.
-
Коммутационные соотношения
- Лестничные операторы коммутируют с другими операторами, если они имеют одинаковые собственные значения.
- В случае углового момента, J+ и J- коммутируют с Jz.
-
Свойства лестничных операторов
- Лестничные операторы увеличивают или уменьшают квантовое число, описывающее состояние системы.
- Они могут быть выражены через собственные значения других операторов, таких как J2 и Jz.
-
Применение в атомной и молекулярной физике
- Лестничные операторы используются в гамильтонианах атомных и молекулярных систем.
- Они упрощают алгебру углового момента, переводя её в сферическую основу.
-
Лестничные операторы в квантовой механике
- Лестничные операторы используются для описания состояний с квантовыми числами, отличающимися на ±1.
- Пример: генератор гармонических колебаний.
-
Водородоподобный атом
- Лестничные операторы применяются для описания электронной энергии водородоподобных атомов.
- Вектор Лапласа–Рунге–Ленца используется для определения лестничных операторов.
-
Факторизация гамильтониана
- Метод факторизации используется для упрощения гамильтониана.
- Пример: сферически симметричный кулоновский потенциал.
-
Трехмерный изотропный гармонический генератор
- Метод факторизации применяется к трехмерному изотропному гармоническому генератору.
- Пример: потенциал V(r) = 1/2μω2r2.
-
Вырождение энергии
- При некотором значении l серия должна заканчиваться на Cl максимум |nl максимум ⟩ = 0.
- Энергия El максимум n = −Fl максимум 2μ = (l максимум + 3/2)ωℏ.
- Это приводит к уменьшению потребления энергии на ωℏ, если не Cl |n,l ⟩ = 0 для некоторого значения l.
-
Рекурсивное соотношение
- Идентифицируя это значение как n, получаем El n = −Fl = (n + 3/2)ωℏ.
- Cl |nl ⟩ = λl n |n-1,l+1 ⟩, задавая рекурсивное отношение на λ с решением λl n = −μωℏ 2(n − l).
-
Вырождение момента импульса и потенциала
- Существует вырождение, вызванное моментом импульса.
- Существует дополнительное вырождение, вызванное потенциалом генератора.
-
Последовательность состояний
- Рассматриваются состояния |n,n ⟩, |n-1,n-1 ⟩, |n-2,n-2 ⟩, …
- Применяются опускающие операторы C∗, задавая последовательность |n,n ⟩, |n,n-2 ⟩, |n,n-4 ⟩, … с той же энергией, но с l уменьшается на 2.
- В дополнение к вырождению углового момента это приводит к полному вырождению (n+1)(n+2)/2.
-
Связь с теорией групп
- Вырождения трехмерного изотропного гармонического осциллятора связаны со специальной унитарной группой SU(3).
-
История
- Многие источники приписывают Полю Дираку изобретение лестничных операторов.
- Использование Дираком лестничных операторов показывает, что общее квантовое число углового момента j должно быть неотрицательным полуцелым числом, кратным ħ.