Оператор умножения
-
Определение оператора умножения
- Оператор Tf умножает функцию φ на фиксированную функцию f
- Значение Tfφ(x) = f(x)φ(x) для всех φ и x
-
Обобщение и связь с другими операторами
- Операторы умножения обобщают диагональные матрицы
- Спектральная теорема утверждает унитарную эквивалентность самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве операторам умножения
-
Свойства оператора умножения
- Ограниченный оператор умножения на L2 ограничен тогда и только тогда, когда f ∈ L∞
- Оператор умножения на L2 является самосопряженным тогда и только тогда, когда f вещественнозначен
- Спектр ограниченного оператора умножения является существенным диапазоном f
- Два ограниченных оператора умножения равны, если f и g равны почти везде
-
Пример оператора умножения
- В гильбертовом пространстве L2 [-1, 3] оператор умножения на функцию x2 имеет норму 9 и спектр [0, 9]
- Оператор Tf − λ обратим тогда и только тогда, когда λ не принадлежит спектру
-
Обобщение на Lp-пространства
- Пример оператора умножения легко обобщается на любое Lp-пространство
-
Связанные понятия
- Упомянуты оператор перевода, оператор смены, оператор по переводу средств, декомпозиция спектра (функциональный анализ)
Полный текст статьи: