Основная теорема Зарисского
-
Основная теорема Зарисского
- Утверждает, что в любой нормальной точке многообразия существует только одна ветвь бирационального морфизма.
- Частный случай теоремы Зариского о связности.
-
Формулировки теоремы
- Бирациональный морфизм с конечными слоями к нормальному многообразию изоморфизм к открытому подмножеству.
- Полное преобразование нормальной фундаментальной точки бирационального отображения имеет положительную размерность.
- Полное преобразование нормальной точки при правильном бирациональном морфизме связано.
-
Обобщения и примеры
- Гротендик описал структуру квазиконечных морфизмов схем.
- Нормальное локальное кольцо является неразветвленным.
- Локальное кольцо нормальной точки многообразия аналитически нормально.
-
Примеры и контрпримеры
- В примере с гладким многообразием и наложением точки W, преобразование W является проективным пространством.
- В примере с двумя различными точками на V’, преобразование W состоит из двух точек, которые не связаны и не имеют положительной размерности.
-
Основная теорема Зарисского для квазиконечных морфизмов
- Гротендик доказал, что все квазиконечные морфизмы являются композициями открытых погружений и конечных морфизмов.
- Связь между теоремой о квазиконечных морфизмах и теорией 4.4.3 EGA III заключается в том, что множество точек, изолированных в слое проективного морфизма, квазиконечно над Y.
-
Основная теорема Зарисского для коммутативных колец
- Зарисский переформулировал теорему в терминах коммутативной алгебры.
- Гротендик обобщил формулировку, утверждая, что если A и B целые и имеют одинаковое поле дробей, а A интегрально замкнуто, то A и B равны.
-
Топологическая и формальная версии
- Топологическая версия утверждает, что если x является нормальной точкой комплексного многообразия, то она неразветвленная.
- Формальная версия утверждает, что если x является нормальной точкой многообразия, то она аналитически нормальна.