Оглавление
- 1 Чрезмерно детерминированная система
- 1.1 Переопределенные системы уравнений
- 1.2 Терминология и концепции
- 1.3 Примеры переопределенных систем
- 1.4 Однородный случай
- 1.5 Неоднородный случай
- 1.6 Точные и приближенные решения
- 1.7 Система уравнений в конечномерных пространствах
- 1.8 Метод Гаусса-Ньютона
- 1.9 Применение к более общим системам
- 1.10 Примеры
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Overdetermined system – Arc.Ask3.Ru
Чрезмерно детерминированная система
-
Переопределенные системы уравнений
- Система уравнений считается переопределенной, если число уравнений больше числа неизвестных.
- Переопределенные системы почти всегда противоречивы, если коэффициенты случайны.
- В некоторых случаях переопределенные системы могут иметь решения, если уравнения линейно зависимы.
-
Терминология и концепции
- Каждое неизвестное можно рассматривать как степень свободы.
- Каждое уравнение ограничивает одну степень свободы.
- Критический случай возникает, когда число уравнений и степеней свободы равны.
-
Примеры переопределенных систем
- Система из 3 уравнений и 2 неизвестных может быть переопределена, если 3 > 2.
- Система может иметь решения, если некоторые уравнения линейно зависимы.
- Матричная форма системы показывает, что система переопределена, если строк матрицы больше, чем столбцов.
-
Однородный случай
- Однородный случай всегда непротиворечив, если все постоянные члены равны нулю.
- В случае M < N система недоопределена и имеет бесконечное множество решений.
- В случае M ≥ N система имеет единственное решение, если число независимых уравнений не превышает N − 1.
-
Неоднородный случай
- В системах с N неизвестными и M уравнениями возможны случаи M = N+1, K = N, K < N.
- В случае M = N+1 система не имеет решений.
- В случае K = N система может иметь единственное решение или не иметь решений.
- В случае K < N система может иметь бесконечно много решений или не иметь решений.
-
Точные и приближенные решения
- Точные решения могут быть получены с помощью матричной алгебры.
- Метод наименьших квадратов может использоваться для нахождения приближенных решений.
- QR-факторизация и сингулярная декомпозиция также могут быть использованы для решения задач.
-
Система уравнений в конечномерных пространствах
- Система уравнений может быть записана в виде системы функций или в матричной форме.
- Матрица f(x) состоит из функций f1, …, fm, где x = (x1, …, xn) является точкой в Rn или Cn.
- Система переопределена, если m > n, и недоопределена, если m < n.
-
Метод Гаусса-Ньютона
- Итерация Гаусса-Ньютона локально квадратично сходится к решениям.
- Матрицы Якоби из f(x) должны быть инъективными для сходимости.
-
Применение к более общим системам
- Концепция может быть применена к системам полиномиальных уравнений и уравнений в частных производных.
- В системах полиномиальных уравнений переопределенная система может иметь решение, но каждое уравнение может иметь больше решений.
-
Примеры
- Система (x-1)(x-2)=0, (x-1)(x-3)=0 имеет единственное решение x=1, но каждое уравнение имеет два решения.