Слабая пара
-
Определение и свойства пар Лакса
- Пара Лакса — это пара матриц или операторов, удовлетворяющих уравнению Лакса.
- Уравнение Лакса описывает солитоны в сплошных средах.
- Матрицы L называются изоспектральными, так как их собственные значения не зависят от времени.
-
Метод обратного рассеяния
- Метод обратного рассеяния использует уравнения Лакса для решения систем.
- Метод включает вычисление спектра L(0) и распространение решения во времени.
-
Спектральная кривая
- Если L зависит от сложного параметра z, уравнение определяет алгебраическую кривую в C2.
- Кривая сохраняется при переносе во времени и называется спектральной кривой.
-
Представление нулевой кривизны
- Любой PDE, допускающий представление в виде слабой пары, также допускает представление с нулевой кривизной.
- Уравнение нулевой кривизны описывает исчезновение тензора кривизны.
-
Примеры и приложения
- Уравнение Кортевега–де Фриза может быть переформулировано как уравнение Лакса.
- Вершина Ковалевской и обобщение с электрическим полем также являются примерами.
- В квантовой механике наблюдаемые величины образуют слабые пары с гамильтонианом.
-
Другие примеры
- Уравнение Бенджамина–Оно, одномерное кубическое нелинейное уравнение Шредингера, система Дэйви–Стюартсона и другие системы могут быть сформулированы как слабые пары.
- Уравнение Кадомцева–Петвиашвили, уравнение Кортевега–де Фриза, иерархия KdV, уравнение Марченко и другие также являются примерами.