Оглавление
Парадокс Фон Неймана
-
Парадокс фон Неймана
- Джон фон Нейман доказал, что можно разбить плоскую фигуру на множества точек и подвергнуть их аффинному преобразованию, сохраняя площадь.
- Это основано на парадоксе Банаха–Тарского и парадоксе Хаусдорфа.
-
Метод фон Неймана
- Используется свободная группа линейных преобразований, сохраняющих площадь.
- Группа делится на две части: A и B.
- Каждая точка на плоскости может быть разделена на орбиты, которые можно выбрать с помощью аксиомы выбора.
- Используя элементы A и B, можно создать два непересекающихся множества точек.
-
Применение метода
- Берется фигура, например единичный квадрат, и в нее вписана другая фигура.
- Каждая точка большой фигуры сопоставляется с точкой внутри нее.
- Применяются преобразования, сохраняющие площадь, для сопоставления точек.
- Используется теорема Кантора-Бернштейна-Шредера для создания взаимно однозначного соответствия.
-
Последствия
- Парадокс усиливает проблему измерения.
- Банахова мера множеств не сохраняется при неизометрических преобразованиях.
- Парадоксальные разложения возникают при использовании групп, не поддающихся определению.
-
Недавний прогресс
- Миклош Лачкович доказал существование парадоксального разложения внутренней части единичного квадрата относительно SL (2, R).
- Все множества в семействах A и B являются SL (2,R)-равноразложимыми.