Первая статья Кантора по теории множеств

• Канторовская бесконечность

  • Кантор доказал, что множество действительных чисел не может быть представлено в виде последовательности. 
  • Он использовал идею трансфинитных чисел для доказательства своей теоремы. 

• Доказательство 1874 года

  • Кантор использовал идею трансфинитных чисел для доказательства того, что множество действительных чисел не может быть представлено в виде последовательности. 
  • Он показал, что множество действительных чисел содержит трансцендентные числа, что противоречит возможности его представления в виде последовательности. 

• Доказательство 1879 года

  • Кантор модифицировал свое доказательство, чтобы учесть случаи, когда множество точек является «всюду плотным в интервале». 
  • Он разделил доказательство на случаи, когда множество точек не является плотным и когда оно является плотным. 
  • В случае, когда множество точек не является плотным, он показал, что каждое число в интервале не содержится в последовательности. 
  • В случае, когда множество точек является плотным, он использовал рекурсивное определение последовательности вложенных интервалов для исключения всех чисел в последовательности. 
  • Он доказал, что пересечение этих интервалов содержит одно действительное число, что противоречит плотности множества точек. 

• Развитие идей Кантора

  • Переписка между Кантором и Дедекиндом показала интерес Кантора к вопросу о возможности сопоставления множеств натуральных и действительных чисел. 
  • Дедекинд не смог ответить на вопрос Кантора, но прислал доказательство счетности множества алгебраических чисел. 
  • Кантор использовал доказательство от противного для доказательства неисчислимости множества действительных чисел. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.