Элемент управления

• Определение и роль ur-элементов в теории множеств

  • Ur-элемент — это объект, не являющийся множеством, но который может быть элементом множества. 
  • Ur-элементы также известны как атомы или индивидуумы. 
  • Они отличаются от пустого множества, но не идентичны ему. 

• Эквивалентные способы рассмотрения элементов

  • В теории первого порядка используются множества и элементарные элементы, где a ∈ b определяется только при b является множеством. 
  • В односортированной теории используется унарный отношение для различения множеств и элементарных единиц. 
  • Аксиома расширяемости должна применяться только к объектам, не являющимся ur-элементами. 

• Аналогия с теориями множеств и классов

  • Ur-элементы подобны правильным классам: они не могут иметь членов, в то время как правильные классы не могут быть членами. 
  • Ur-элементы являются минимальными объектами, а соответствующие классы — максимальными объектами по отношению принадлежности. 

• Примеры аксиоматизаций теории множеств с ur-элементами

  • Теория множеств Крипке-Платека и вариант теории множеств Фон Неймана-Бернейса-Геделя используют ur-элементы. 
  • В теории типов объект типа 0 может быть назван ur-элементом. 

• Последствия добавления ur-элементов в NFU

  • Добавление ur-элементов в NFU приводит к непротиворечивости относительно арифметики Пеано, но не относительно ZF. 
  • NFU остается последовательным при добавлении аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. 
  • Отрицание аксиомы выбора является теоремой NFU. 

• Атомы Куайна и их роль в теории множеств

  • Атомы Куайна — это множества, содержащие только себя, и они могут существовать в теориях множеств без аксиомы регулярности. 
  • Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности совместима с существованием атомов Куайна. 
  • Атомы Куайна могут быть уникальными или множественными в зависимости от аксиом теории множеств. 

• Рекомендации

  • Ссылки на внешние источники для дополнительной информации.