Квадратичная плоская кривая
-
Определение квадратичной кривой
- Квадратичная кривая — это плоская алгебраическая кривая четвертой степени.
- Уравнение кривой содержит 15 постоянных, но их можно сократить до 14.
- Пространство квадратичных кривых можно отождествить с реальным проективным пространством.
-
Теорема Крамера
- Существует ровно одна кривая, проходящая через 14 различных точек в общем положении.
- Квадратичная кривая может иметь максимум четыре соединенных компонента, двадцать восемь би-тангенсов и три обычных двойных очка.
-
Кривые над другими полями
- Можно рассматривать квартичные кривые над комплексными числами, получая римановы поверхности.
- Пример: квартика Клейна.
-
Примеры кривых
- Двурогий, изгиб носовой части пули, декартов овал, овал Кассини, дельтовидная кривая, дьявольская кривая, бегемот, кампиль Евдокса, четвертичная дробь Клейна, лемниската Бернулли, лемниската из Героно, лимасон, четвертичная дробь Люрота, спиральный разрез, особая кварта Ламе, торическое сечение, кривая Тротта, кривая амперсанда, бобовая кривая, двустворчатая кривая, изгиб носа, крестообразная кривая, спиральный разрез, трехлистный клевер.
-
Кривая амперсанда
- Имеет нулевой род с тремя обычными двойными точками.
-
Бобовая кривая
- Имеет нулевой род и одну особенность в начале координат.
-
Двустворчатая кривая
- Имеет два выступа и является кривой первого рода.
-
Изгиб носа
- Имеет единственную тройную точку и является рациональной кривой нулевого рода.
-
Крестообразная кривая
- Связана с эллипсом и имеет три двойные точки.
- Параметризуется рациональными функциями.
-
Спиральный разрез
- Двояковыпуклая кривая, симметричная относительно осей x и y.
- Входит в семейство торических сечений.
-
Клевер трехлистный
- Имеет тройную точку в начале координат и три двойные касательные.