Оглавление
- 1 Связанное пространство
- 1.1 Определение связного пространства
- 1.2 Эквивалентные условия связности
- 1.3 Связные компоненты
- 1.4 Разъединенные пространства
- 1.5 Примеры связных и несвязных пространств
- 1.6 Связанность путей
- 1.7 Путь-компонент и связность
- 1.8 Дуговая связность
- 1.9 Локальная связность
- 1.10 Заданные операции
- 1.11 Теоремы
- 1.12 Связность графов и топологических пространств
- 1.13 Категория соединительных пространств
- 1.14 Преобразование графов в топологические пространства
- 1.15 Более прочные формы связности
- 1.16 Примеры несвязных пространств
- 1.17 Связанные понятия
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Подключенное пространство – Arc.Ask3.Ru
Связанное пространство
-
Определение связного пространства
- Связное пространство не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся открытых подмножеств.
- Подмножество связного пространства называется связным, если оно связно в своей топологии подпространства.
-
Эквивалентные условия связности
- Связное пространство не может быть разделено на два непересекающихся непустых открытых множества.
- Единственные подмножества, которые являются одновременно открытыми и закрытыми, это само пространство и пустое множество.
- Связное пространство не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств.
- Все непрерывные функции от связного пространства к {0, 1} являются постоянными.
-
Связные компоненты
- Объединение всех связных подмножеств, содержащих точку, образует связный компонент этой точки.
- Связные компоненты образуют раздел пространства, они непересекающиеся и непустые.
- Каждый компонент является замкнутым подмножеством исходного пространства.
-
Разъединенные пространства
- Полностью несвязное пространство имеет все компоненты в виде одноточечных множеств.
- Полностью разделенное пространство имеет для любых двух различных элементов непересекающиеся открытые множества, содержащие эти элементы.
-
Примеры связных и несвязных пространств
- Замкнутый интервал [0, 2) является связным, но его можно записать как объединение двух непересекающихся подмножеств.
- Союз [0, 1) и (1, 2] является несвязным.
- Выпуклое подмножество Rn является связным.
- Евклидова плоскость без начала координат является связным, но не просто связным.
- Одномерное евклидово пространство без начала координат не является связным.
- Евклидова плоскость с удаленной прямой не является связным.
- R является связным, но линия Зоргенфрея является несвязной.
- Дискретное топологическое пространство с двумя элементами является несвязным.
- Множество Кантора полностью несвязно.
- Синусоидальная кривая тополога связана, но не является ни путевой, ни локально связанной.
- Общая линейная группа GL(n, R) состоит из двух связанных компонентов.
- Спектр коммутативного кольца R является связным.
- Примеры несвязанных пространств включают плоскость с удаленной бесконечной прямой и объединение двух непересекающихся замкнутых дисков.
-
Связанность путей
- Пространство, связанное с путями, требует наличия структуры пути.
- Путь из точки x в точку y в топологическом пространстве X является непрерывной функцией от единичного интервала [0, 1] к X с f(0) = x.
-
Путь-компонент и связность
- Путь-компонент — это класс эквивалентности, определяемый отношением эквивалентности, соединяющим точки.
- Пространство называется соединенным по пути, если существует ровно один путь-компонент.
- Обратное не всегда верно: примеры включают протяженную длинную линию и синусоидальную кривую тополога.
-
Дуговая связность
- Пространство называется дуговым соединением, если любые две топологически различимые точки могут быть соединены дугой.
- Дуговой компонент — это максимальное дугообразное подмножество.
- Каждое хаусдорфово пространство, связанное с траекторией, также связано с дугой.
-
Локальная связность
- Пространство локально связано в точке, если каждая окрестность содержит связную открытую окрестность.
- Локально подключенное пространство имеет базу подключенных множеств.
- Локально связанное с путями пространство имеет базу множеств, связанных с путями.
-
Заданные операции
- Пересечение связанных множеств не обязательно связано.
- Объединение связанных множеств не обязательно связано, но может быть связано в некоторых случаях.
- Разница в наборах подключенных множеств не обязательно связана, но объединение Y с каждым компонентом X ∖ Y связано.
-
Теоремы
- Основная теорема о связности: если X подключен, то f(X) также подключен.
- Каждое пространство, связанное с путями, взаимосвязано.
- Локально связанное с путями пространство связано с путями тогда и только тогда, когда оно связано.
- Замыкание подключенного подмножества является подключенным.
- Каждое многообразие локально связано с путями.
-
Связность графов и топологических пространств
- Графы имеют подмножества, связанные путями, если каждая пара точек имеет путь из ребер.
- Не всегда можно найти топологию, индуцирующую одни и те же связанные множества.
- Понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии.
-
Категория соединительных пространств
- Существует категория соединительных пространств, состоящая из множеств с наборами связанных подмножеств.
- Морфизмы соединительных пространств отображают связанные множества в связанные множества.
- Топологические пространства и графы являются частными случаями соединительных пространств.
-
Преобразование графов в топологические пространства
- Каждый граф можно канонически преобразовать в топологическое пространство.
- Вершины графа рассматриваются как точки, а ребра — как копии единичного интервала.
- Граф связен тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.
-
Более прочные формы связности
- В топологических пространствах существуют более сильные формы связности.
- Гиперсвязанные пространства также подключены.
- Односвязные пространства также подключены.
- Сжимаемые пространства связаны путями и взаимосвязаны.
-
Примеры несвязных пространств
- Удаленное пространство гребенки и синусоидальная кривая тополога являются примерами несвязных пространств.
-
Связанные понятия
- Связный компонент — максимальный подграф, вершины которого могут достигать друг друга.
- Локус связанности — связное открытое подмножество топологического пространства.
- Экстремально несвязанное пространство — топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества является открытым.
- Локально связное пространство — свойство топологических пространств.
- n-подключенный — тип однородного пространства.
- Равномерно связанное пространство — тип однородного пространства.
- Возможность подключения пикселей — свойство топологических пространств.