Оглавление
Сигнатура (топология)
-
Определение сигнатуры
- Сигнатура — целочисленный инвариант ориентированного многообразия M размерности, кратной четырем.
- Определяется через произведение cup, которое приводит к квадратичной форме Q в группе вещественных когомологий.
- Форма Q невырождена из-за двойственности Пуанкаре.
-
Свойства сигнатуры
- Сигнатура σ(M) равна числу положительных записей в диагональной матрице Q.
- Если M не подключен, его сигнатура определяется как сумма сигнатур подключенных компонентов.
- В L-теории сигнатура интерпретируется как 4k-мерная симметричная или квадратичная L-группа.
-
Инвариант Кервера
- Для обрамленных многообразий размерности 4k + 2 сигнатура равна 0.
- В случае d = 4k + 2, если это дважды нечетное целое число, сигнатура не определена.
- Квадратичное уточнение формы приводит к инварианту Кервера.
-
Свойства сигнатуры
- Компактно ориентированные многообразия удовлетворяют σ(M ⊔ N) = σ(M) + σ(N) и σ(M × N) = σ(M)σ(N).
- Если M — ориентированная граница, σ(M) = 0.
- Сигнатура является инвариантом кобордизма и задается линейной комбинацией чисел Понтрягина.
-
Теоремы и результаты
- Рене Том показал, что сигнатура задается линейной комбинацией чисел Понтрягина.
- Фридрих Хирцебрух нашел явное выражение для сигнатуры через L-род многообразия.
- Уильям Браудер доказал, что односвязный компактный многогранник гомотопически эквивалентен многообразию, если его сигнатура удовлетворяет выражению Хирцебруха.
- Теорема Рохлина утверждает, что сигнатура 4-мерного односвязного многообразия со спиновой структурой делится на 16.