Функция полигаммы
-
Определение и свойства полигамных функций
- Полигамная функция порядка m — это мероморфная функция от комплексных чисел, определенная как (m + 1)-я производная логарифма гамма-функции.
- Голоморфны на C∖Z≤0 и имеют полюс порядка m + 1 для неположительных целых чисел.
- Интегральное представление для положительных вещественных аргументов и m > 0.
-
Монотонность и рекуррентное соотношение
- (-1)m+1 ψ(m)(x) является полностью монотонной функцией для m > 0 и x действительных и неотрицательных.
- Рекуррентное соотношение для представления суммы обратных степеней натуральных чисел.
-
Обобщение и асимптотическое разложение
- Полигамные функции могут быть обобщены для положительных вещественных чисел благодаря рекуррентному соотношению и одному значению функции.
- Асимптотическое разложение для больших аргументов, использующее ряды Тейлора и дзета-функции.
-
Неравенства и границы тригаммы
- Функция дигаммы строго монотонна и вогнута для m = 0, а для m > 0 функции ψ(m)(x) являются строго монотонными и выпуклыми.
- Для m = 1 функция тригаммы имеет асимптотическое приближение 1/x при x≫1.
-
Рекомендации
- Ссылки на другие функции и обобщения полигамных функций.
Полный текст статьи: