Оглавление
- 1 Полугруппа с инволюцией
- 1.1 Определение полугруппы с инволюцией
- 1.2 Формальное определение
- 1.3 Примеры и свойства
- 1.4 Основные понятия и свойства
- 1.5 Понятия регулярности
- 1.6 Определение *-правильной полугруппы
- 1.7 Примеры и приложения
- 1.8 Свободная полугруппа с инволюцией
- 1.9 Универсальность конструкции
- 1.10 Построение свободной группы
- 1.11 Бэра*-полугруппы
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Полугруппа с инволюцией
Полугруппа с инволюцией
-
Определение полугруппы с инволюцией
- Полугруппа с инволюцией (*-полугруппа) — это полугруппа с инволютивным антиавтоморфизмом.
- Инволюция удовлетворяет аксиомам, аналогичным групповой инверсии.
- Примеры: мультипликативный моноид вещественных квадратных матриц, свободная полугруппа, совокупность бинарных отношений.
-
Формальное определение
- Инволюция — это унарная операция, удовлетворяющая аксиомам: (x*)* = x и (xy)* = y*x*.
- Полугруппа с инволюцией называется *-полугруппой.
-
Примеры и свойства
- В коммутативной полугруппе тождественное отображение является инволюцией.
- В группе инверсионное отображение является инволюцией.
- Обратная полугруппа допускает инволюцию, оставляющую идемпотенты инвариантными.
- В C*-алгебре инволюция — это сопряженная транспозиция.
- Множество бинарных отношений на множестве является *-полугруппой.
- Прямоугольная полоса на декартовом произведении множества является *-полугруппой.
-
Основные понятия и свойства
- Элемент x называется эрмитовым, если x* = x.
- Частичная изометрия — это элемент, удовлетворяющий условию ss*s = s.
- Проекция — это идемпотентный эрмитов элемент.
- Частичные изометрии образуют упорядоченный группоид.
-
Понятия регулярности
- Регулярные *-полугруппы (Нордаль и Шайблих) удовлетворяют аксиомам x = xx*x и (xx*)(x*x) = (x*x)(xx*).
- P-системы — это подмножества идемпотентов, удовлетворяющие определенным аксиомам.
- Правильная полугруппа является *-правильной тогда и только тогда, когда имеет p-систему.
-
Определение *-правильной полугруппы
- Полугруппа S с инволюцией * называется *-правильной, если для каждого x в S x* является H-эквивалентом некоторой обратной величины x.
- Это условие может быть сформулировано как наличие проекции в каждом L-классе.
- Майкл П. Дразин доказал, что обратная величина x Мура–Пенроуза уникальна.
-
Примеры и приложения
- Полугруппа Mn(C) квадратных матриц является *-правильной с инволюцией, присваивающей эрмитово сопряжение.
- Обратная функция Мура–Пенроуза для A в этой полугруппе является классической обратной функцией Мура–Пенроуза.
-
Свободная полугруппа с инволюцией
- Построение свободной полугруппы с инволюцией основано на построении свободной полугруппы.
- Образующие свободной полугруппы с инволюцией являются элементами объединения двух непересекающихся множеств.
- Инволюция определяется как перестановка строк элементов свободной полугруппы.
-
Универсальность конструкции
- Конструкция свободной полугруппы с инволюцией является универсальной, так как она позволяет расширить любую карту от X к X† до инволюции на Y+.
- Аналогичный аргумент справедлив для свободного моноида с инволюцией.
-
Построение свободной группы
- Построение свободной группы не сильно отличается от построения свободного моноида с инволюцией.
- Требуется определение сокращенного слова и правила переписывания для создания таких слов.
- Свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией путем вычисления частного по конгруэнтности Дейка.
-
Бэра*-полугруппы
- Полугруппа Бэра* — это *-полугруппа с нулем, в которой правый аннигилятор каждого элемента совпадает с правым идеалом проекции.
- Примеры включают множество всех бинарных отношений и мультипликативные полугруппы бэровских *-колец.
- Полугруппы Бэра* встречаются в квантовой механике и позволяют координировать ортомодулярные решетки.