Оглавление
- 1 Полупрямолинейный продукт
- 1.1 Полупрямое произведение
- 1.2 Внутреннее полупрямое произведение
- 1.3 Внешнее полупрямое произведение
- 1.4 Примеры полупрямых произведений
- 1.5 Евклидова группа и её подгруппы
- 1.6 Ортогональная группа O(n)
- 1.7 Полулинейные преобразования
- 1.8 Кристаллографические группы
- 1.9 Примеры групп, не являющихся полупрямыми произведениями
- 1.10 Свойства полупрямых произведений
- 1.11 Существование полупрямых произведений
- 1.12 Обобщения и другие подходы
- 1.13 Конструкция Гротендика
- 1.14 Группоиды в топологии
- 1.15 Абелевы категории
- 1.16 Обозначение полупрямого произведения
- 1.17 Связанные понятия
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Полупрямой продукт
Полупрямолинейный продукт
-
Полупрямое произведение
- Обобщение прямого произведения
- Внутреннее полупрямое произведение: группа из двух подгрупп
- Внешнее полупрямое произведение: группа из двух групп и гомоморфизма
-
Внутреннее полупрямое произведение
- Группа G = NH, где N нормальная подгруппа
- Гомоморфизм φ: H → Aut(N)
- Группа G’ = (N, H) с групповой операцией
-
Внешнее полупрямое произведение
- Группа N ∈φ H с гомоморфизмом φ: H → Aut(N)
- Групповая операция определяется гомоморфизмом
- Группа изоморфна полупрямому произведению N и H
-
Примеры полупрямых произведений
- Двугранная группа D2n: полупрямое произведение Cn и C2
- Циклические группы: полупрямое произведение Cm и Cn с дополнительным соотношением
- Голоморф группы: G ⋊ Aut(G)
- Фундаментальная группа бутылки Клейна: Z ⋊ Z
- Верхние треугольные матрицы: Tn ≅ Un ⋊ Dn
- Группа изометрий на плоскости
-
Евклидова группа и её подгруппы
- Евклидова группа изоморфна полупрямому произведению группы переводов и группы O(2).
- Группа переводов является нормальной подгруппой евклидовой группы.
- Гомоморфизм φ: O(2) → Aut(R2) задаётся матричным умножением.
-
Ортогональная группа O(n)
- Ортогональная группа O(n) изоморфна полупрямому произведению SO(n) и C2.
- Гомоморфизм φ: C2 → Aut(SO(n)) задаётся как φ(H)(N) = HNH−1.
-
Полулинейные преобразования
- Группа полулинейных преобразований изоморфна полупрямому произведению GL(V) и группы автоморфизмов K.
-
Кристаллографические группы
- Пространственная группа кристалла распадается как полупрямое произведение точечной группы и группы перемещения.
- Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, не содержащиеся в пространственной группе.
-
Примеры групп, не являющихся полупрямыми произведениями
- Z4 не является полупрямым произведением, так как имеет подгруппу порядка 2.
- Группа из восьми кватернионов не является полупрямым произведением, так как не имеет точной последовательности групп.
-
Свойства полупрямых произведений
- Порядок полупрямого произведения равен произведению порядков факторгрупп.
- Полупрямое произведение не является уникальным, если факторгруппы изоморфны.
-
Существование полупрямых произведений
- Теорема Шура–Зассенхауса гарантирует существование полупрямого произведения при взаимно простых порядках факторгрупп.
-
Обобщения и другие подходы
- Произведение групп Заппы–Сепа обобщает полупрямые произведения.
- В теории колец существует скрещенное произведение колец.
- В геометрии существует скрещенное произведение для групповых действий.
- Полупрямое произведение является частным случаем конструкции Гротендика в теории категорий.
-
Конструкция Гротендика
- Функтор BH сопоставляется с BN.
- Конструкция Гротендика эквивалентна B(H ⋊ N).
- Полупрямое произведение H ⋊ N является группоидом.
-
Группоиды в топологии
- Группа G воздействует на пространство X.
- Полупрямое произведение π1(X) ∈ G связано с фундаментальным группоидом орбитального пространства X/G.
-
Абелевы категории
- Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях.
- Лемма о расщеплении показывает, что каждое полупрямое произведение является прямым произведением.
-
Обозначение полупрямого произведения
- Обычно полупрямое произведение обозначается как N ∈ H или H ∈ N.
- В некоторых источниках символ может использоваться с противоположным значением.
- В случае явного задания действия φ: H → Aut(N), используется N ∈φ H.
- Барри Саймон использует N Ⓢφ H для полупрямолинейного продукта.
- В Юникоде перечислены четыре варианта обозначения.
- В LaTeX команды \rtimes и \ltimes создают соответствующие символы.
-
Связанные понятия
- Аффинная алгебра Ли
- Конструкция Гротендика
- Голоморф
- Полупрямая сумма по алгебре Ли
- Подчиненный продукт
- Изделие из венка
- Продукт Zappa–Szép
- Скрещенный продукт