Порядковый номер
-
Определение ординалов фон Неймана
- Ординалы фон Неймана — это упорядоченные множества натуральных чисел, которые не имеют наибольшего элемента.
- Порядковый номер — это уникальный элемент в упорядоченном множестве, который не является наибольшим.
- Порядковые номера могут быть нулем, преемником или пределом.
-
Порядковая арифметика
- Порядковое сложение и умножение определены для ординалов, а возведение в степень — для аддитивно неразложимых ординалов.
- Порядковые операции могут быть определены рекурсивно или с использованием трансфинитной индукции.
-
Индексирование ординалов
- Любой упорядоченный набор ординалов может быть проиндексирован по возрастанию на порядковые номера.
- Классы ординалов также могут быть проиндексированы ординалами, меньшими некоторого α.
-
Замкнутые и неограниченные множества
- Класс ординалов называется неограниченным или кофинальным, если существует ординал β, такой что α < β.
- Класс называется замкнутым, если предел последовательности ординалов в классе находится в классе.
- Замкнутые и неограниченные классы имеют особое значение, иногда называемые трефами.
-
Стационарные классы
- Стационарный класс — это класс, который имеет непустое пересечение с каждым замкнутым неограниченным классом.
- Суперклассы замкнутых неограниченных классов и пересечения стационарного класса с замкнутым неограниченным классом являются стационарными.
-
Примеры и приложения
- Примеры ординалов включают ω, ω+1, ω+2 и т.д.
- Порядковая арифметика используется для определения функций, которые принимают порядковые значения.
- Замкнутые и неограниченные множества и классы имеют важные применения в теории множеств и топологии.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.