Оглавление
- 1 Представления классических групп Ли
- 1.1 Группы Ли и их представления
- 1.2 Тензорные представления
- 1.3 Примеры тензорных представлений
- 1.4 Специальная линейная группа
- 1.5 Унитарная группа
- 1.6 Тензорные произведения
- 1.7 Ортогональная и специальная ортогональная группы
- 1.8 Неприводимые представления O(n, C)
- 1.9 Антисимметричные тензоры
- 1.10 Неприводимые представления SO(n, C)
- 1.11 Размеры неприводимых представлений SO(n, C)
- 1.12 Тензорные произведения
- 1.13 Правила ветвления из общей линейной группы
- 1.14 Симплектическая группа
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Представления классических групп Ли – Википедия
Представления классических групп Ли
-
Группы Ли и их представления
- Группы Ли: GL(n, C), SL(n, C), O(n, C), SO(n, C), Sp(2n, C)
- Представления групп Ли строятся с использованием теории представлений полупростых алгебр Ли
- Группы SL(n, C), SO(n, C), Sp(2n, C) являются простыми группами Ли
-
Тензорные представления
- Тензорные представления строятся с помощью функторов Шура
- Неприводимые представления помечены диаграммами Юнга
- Размеры представлений определяются формулами, включающими символы представлений
-
Примеры тензорных представлений
- Общие неприводимые представления могут быть смешанными тензорными представлениями
- Неприводимые представления GL(n, C) обозначаются парами молодых фигур
- Размерность представлений зависит от последовательности целых чисел λ
-
Специальная линейная группа
- Представления SL(n, C) эквивалентны, если есть k ∈ Z, такой что λi − λi’ = k для всех i
- Неприводимые представления SL(n, C) индексируются таблицами Юнга и являются тензорными
-
Унитарная группа
- U(n) является максимальной компактной подгруппой GL(n, C)
- Неприводимые представления U(n) находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями GL(n, C)
-
Тензорные произведения
- Тензорные произведения представлений GL(n, C) задаются формулой с коэффициентами Литтлвуда-Ричардсона
- Примеры тензорных произведений включают 3-j и 6-j символы
-
Ортогональная и специальная ортогональная группы
- O(n, C) и SO(n, C) имеют спиновые представления, которые являются проективными представлениями
- Представления O(n, C) не могут быть неприводимыми, но могут быть тензорными
-
Неприводимые представления O(n, C)
- Тензоры должны быть бесследными для неприводимости.
- Параметризуются подмножеством диаграмм Юнга.
- Диаграммы должны иметь сумму длин первых двух столбцов не более n.
-
Антисимметричные тензоры
- U(1n) является одномерным представлением O(n, C).
- U(1n) ⊗ Uλ = Uλ’, где λ’ получается из λ заменой λ~1 на n-λ~1.
-
Неприводимые представления SO(n, C)
- Для n нечетного: λ~1 ≤ n-1/2.
- Для n четного: λ~1 ≤ n/2-1, сводятся к сумме двух представлений при λ~1 = n/2.
-
Размеры неприводимых представлений SO(n, C)
- Зависит от четности n.
- Существует выражение в виде многочлена в n.
-
Тензорные произведения
- В стабильном диапазоне кратности задаются числами Ньюэлла-Литтлвуда.
- За пределами стабильного диапазона кратности зависят от n.
-
Правила ветвления из общей линейной группы
- Представления GL(n) могут быть разложены на представления O(n).
- Разложение дается в терминах коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона.
-
Симплектическая группа
- Представления параметризуются диаграммами Юнга с не более n строками.
- Размерность представления равна.
- Тензорные произведения задаются числами Ньюэлла-Литтлвуда в стабильном диапазоне и их модификациями за пределами стабильного диапазона.