Оглавление
Примитивное кольцо
-
Определение левых примитивных колец
- Левое примитивное кольцо имеет верный простой левый модуль.
- Примеры включают кольца эндоморфизмов векторных пространств и алгебры Вейля над полями с нулевой характеристикой.
-
Внутренняя характеристика
- Кольцо является левым примитивом, если существует максимальный левый идеал без ненулевых двусторонних идеалов.
- Аналогичное определение для правильных примитивных колец.
-
Структура левых примитивных колец
- Кольцо является левым примитивом, если оно изоморфно плотному подкольцу кольца эндоморфизмов левого векторного пространства над кольцом деления.
- Кольцо остается примитивным, если оно является простым кольцом с точным левым модулем конечной длины.
-
Свойства левых примитивных колец
- Односторонние примитивные кольца являются полупримитивными и простыми кольцами.
- Произведение примитивных колец не является примитивным.
- В левом артиновом кольце условия “левый примитив”, “правый примитив”, “простое число” и “простой элемент” эквивалентны.
- Коммутативное кольцо остается примитивным тогда и только тогда, когда оно является полем.
-
Примеры левых примитивных колец
- Каждое простое кольцо с единицей является левым и правым примитивом.
- Алгебры Вейля над полями с нулевой характеристикой примитивны.
-
Полные линейные кольца
- Левое полное линейное кольцо – это кольцо всех линейных преобразований бесконечномерного левого векторного пространства над кольцом деления.
- Левое полное линейное кольцо всегда остается примитивным.
- При бесконечной размерности векторного пространства, набор линейных преобразований конечного ранга является правильным двусторонним идеалом, что делает кольцо не простым.