Принцип неопределенности
-
Принцип неопределенности Гейзенберга
- Принцип неопределенности утверждает, что невозможно одновременно точно измерить положение и импульс частицы.
- Чем точнее измеряется одно свойство, тем менее точно можно определить другое.
- Принцип был сформулирован Вернером Гейзенбергом в 1927 году.
-
Математическое выражение принципа
- Принцип выражается через неравенство, связывающее стандартное отклонение положения и импульса.
- Неравенство Кеннарда связывает σx и σp через постоянную Планка.
-
Волновая механика и матричная механика
- В волновой механике принцип объясняется через сопряженные переменные.
- В матричной механике принцип выражается через некоммутирующие операторы.
-
Визуализация принципа
- Принцип можно представить через пространственные волновые функции.
- Чем более локализована волновая функция, тем менее локализована другая.
-
Интерпретация волновой механики
- Каждый объект связан с волной, подчиняющейся принципу неопределенности.
- Волновая функция описывает вероятность нахождения частицы в определенном месте.
-
Доказательство неравенства Кеннарда
- Неравенство Кеннарда можно доказать через интегралы и функции.
- Неравенство связывает σx и σp, ограничивая их снизу.
-
Интерпретация волновой механики
- Волновая функция ψ(x) может быть интерпретирована как вектор в функциональном пространстве.
- Внутреннее произведение для пары функций u(x) и v(x) определяется как интеграл от их комплексных сопряженных.
- Дисперсия для позиции может быть записана как ⟨f∣f⟩.
-
Преобразование Фурье и оператор импульса
- Функция g(p) может быть интерпретирована как вектор, используя преобразование Фурье.
- Оператор импульса в позиционном пространстве определяется как −iℏddx.
- Дисперсия для импульса может быть записана как ⟨g∣g⟩.
-
Неравенство Коши-Шварца
- Дисперсия для положения и импульса связана через внутренние произведения.
- Неравенство Коши-Шварца утверждает, что σx2σp2 ≥ |⟨f∣g⟩|2.
- Внутреннее произведение ⟨f∣g⟩ может быть выражено через интегралы от комплексных сопряженных функций.
-
Интерпретация матричной механики
- В матричной механике наблюдаемые величины представляются самосопряженными операторами.
- Коммутатор операторов положения и импульса равен iℏ.
- Ни одно квантовое состояние не может быть одновременно собственным положением и импульсом.
-
Примеры
- Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора описываются операторами рождения и уничтожения.
-
Квантовые гармонические осцилляторы
- Стандартные отклонения положения и импульса равны ℏ/mω и ℏmω соответственно.
- Произведение стандартных отклонений равно ℏ(n+1/2), что насыщается для основного состояния n=0.
-
Когерентные состояния
- Когерентные состояния насыщают границу Кеннарда, так как σxσp = ℏ/2.
- Каждое когерентное состояние вносит вклад ℏ/2 в положение и импульс.
-
Частица в коробке
- Стандартные отклонения положения и импульса равны L2/12 и ℏnπL соответственно.
- Произведение стандартных отклонений равно ℏ2n2π2/3-2, что всегда больше ℏ2.
-
Постоянный импульс
- Частица с постоянным импульсом имеет σp(t) = ℏ/(2×0) и σx = x02/(1+ω02t2).
- Произведение неопределенностей увеличивается со временем.
-
Принцип неопределенности энергии и времени
- Соотношение неопределенности энергии и времени: ΔEΔt ≳ ℏ/2.
- Время жизни резонансного состояния τ1/2 связано с его энергетической шириной ΔE: τ1/2ΔE = πℏ/4.
- В физике элементарных частиц используются значения ширины для характеристики времени жизни квазистабильных состояний.
-
Принцип неопределенности времени и энергии
- Энергия и время не обладают определенной энергией, каждый раз при распаде энергия немного отличается.
- Средняя энергия фотона достигает максимума при теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину.
- Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, медленно распадающиеся — узкую.
-
Время в квантовой механике
- Концепция «времени» в квантовой механике порождает множество проблем.
- Квантовой теории измерения времени не существует, теория относительности фундаментальна для времени.
- Время является свойством системы, в нем нет оператора, необходимого для соотношения Робертсона–Шредингера.
-
Мандельштам–Тамм
- В 1945 году Мандельштам и Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенности времени и энергии.
- Соотношение связывает временную зависимость среднего значения наблюдаемого с его коммутатором с гамильтонианом.
- Соотношение обеспечивает связь между энергией и временем, где ΔEτB ≥ h/2.
-
Примеры
- Время, в течение которого свободная квантовая частица проходит точку в пространстве, более неопределенно, чем энергия состояния.
- Дельта-частица имеет время жизни 10-23 с, что приводит к изменению массы на ±120 МэВ/c2.
- Два энергетических состояния накладываются для создания составного состояния, что приводит к различной временной неопределенности.
-
Квантовая теория поля
- Некоторые формулировки квантовой теории поля используют временные электрон–позитронные пары.
- Масса, энергия и время жизни этих частиц связаны соотношением неопределенности энергия–время.
- Энергия квантовых систем не известна с достаточной точностью, что требует учета всех предысторий.
-
Внутренняя квантовая неопределенность
- Принцип неопределенности не является утверждением об успехе современных технологий в наблюдениях.
- Принцип неопределенности присущ свойствам всех волнообразных систем и возникает из-за волновой природы материи.
-
Математический формализм
- Робертсон разработал формулировку для произвольных эрмитовых операторов.
- Шредингер показал, как учитывать корреляцию между операторами, дав более сильное неравенство.
-
Соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера
- Соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера связывает дисперсии двух наблюдаемых величин.
- Оно может быть выражено через внутренний продукт векторов и коммутатор операторов.
- Соотношение может быть обобщено для смешанных состояний.
-
Проблемы с доказательством
- Доказательство требует, чтобы вектор находился в области действия оператора, что не всегда верно.
- Существуют контрпримеры, где произведение неопределенностей равно нулю.
-
Смешанные состояния
- Соотношение неопределенности может быть обобщено для смешанных состояний.
- Используется оператор trace для описания смешанных состояний.
-
Соотношения неопределенности Макконе–Пати
- Более сильные соотношения неопределенности дают оценки суммы дисперсий для несовместимых наблюдаемых.
- Первое соотношение требует выбора знака для превращения величины в положительное число.
- Второе соотношение требует, чтобы состояние было собственным состоянием (A+B).
-
Улучшение соотношения неопределенностей
- Неопределенность Робертсона–Шредингера можно улучшить, используя разложение матрицы плотности.
- Соотношение неопределенности сохраняется для всех компонентов матрицы плотности.
-
Соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера
- Соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера связывает неопределенности двух наблюдаемых.
- Оно часто имеет большую границу, чем исходное соотношение неопределенности Гейзенберга.
- Для смешанных компонентов квантового состояния необходимо вычислить среднее значение их квадратных корней.
-
Улучшенные соотношения неопределенности
- Улучшенное соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера учитывает вогнутую крышу над разложениями матрицы плотности.
- Это соотношение удовлетворяет всем квантовым состояниям с одним кубитом.
- Аналогично, можно вывести соотношение с выпуклой крышей, используя квантовую информацию Фишера.
-
Фазовое пространство и соотношение неопределенности
- В фазовом пространстве соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера следует из условия положительности реальной звездчато-квадратичной функции.
- Это условие подразумевает, что все собственные значения матрицы неотрицательны.
-
Примеры соотношений неопределенности
- Соотношение неопределенности положения и линейного импульса: σxσp ≥ h/2.
- Соотношение неопределенности углового момента: σJiσJj ≥ h/2 |⟨Jk⟩|.
- Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга–Ландау: ΔNΔφ ≥ 1.
-
Ограничения и контрпримеры
- Вывод неравенства Робертсона требует определенных условий, которые могут быть нарушены в некоторых квантовых системах.
- Пример: квантовая частица на кольце, где волновая функция зависит от угловой переменной.
- В этом случае принцип неопределенности Робертсона неприменим.
-
Дополнительные соотношения неопределенности
- Предел Гейзенберга в квантовой метрологии определяет оптимальную скорость измерения.
- Это измерение фазы, где энергия определяется количеством фотонов в интерферометре.
-
Предел Гейзенберга и систематические ошибки
- Предел Гейзенберга связан с систематическими ошибками, вызванными измерительным прибором.
- Систематические ошибки могут быть учтены в неравенстве Одзавы.
-
Неравенство Одзавы
- Включает систематические и статистические ошибки.
- Учитывает влияние ошибок на измерения.
-
Принцип неопределенности Гейзенберга
- Первоначально описывал только систематические ошибки.
- Не учитывает статистические ошибки.
-
Неравенства для одновременных измерений
- Включают как систематические, так и статистические ошибки.
- Сохраняют форму, близкую к исходному неравенству Гейзенберга.
-
Принцип квантовой энтропийной неопределенности
- Основан на энтропийной неопределенности, а не на дисперсиях.
- Более строгий, чем принцип Гейзенберга.
- Включает энтропии волновых функций.
-
Сравнение принципов неопределенности
- Принцип Гейзенберга является следствием квантового энтропийного принципа.
- Квантовый энтропийный принцип сильнее, чем принцип Гейзенберга.
-
Распределение вероятностей и энтропия Шеннона
- Нормальное распределение вероятностей описывается функцией |ψ(x)|^2 = 1/x0^2πexp(-x^2/2×0^2).
- Энтропия Шеннона для нормального распределения равна ln(2π) + 1/2.
- Аналогичный расчет выполняется для распределения импульса.
-
Энтропийная неопределенность
- Энтропийная неопределенность равна ln(e/2) — ln(δxδp/h), где δx и δp — пространственное и импульсное разрешения соответственно.
- Неравенство строгое и не насыщенное.
-
Дискретизация и энтропия
- Дискретизация измерительного устройства приводит к конечной энтропии Шеннона.
- Вероятности нахождения в ячейках определяются правилом Борна.
-
Пример с однородным распределением
- Однородное распределение описывается функцией sinc, что приводит к бесконечной дисперсии импульса.
- Энтропийная неопределенность конечна, но не насыщена.
-
Пример с двумя ячейками
- Пространственное разрешение равно a, импульсное — h/a.
- Вероятности нахождения в ячейках: P[x0] = P[x1] = 1/2.
- Энтропия Шеннона равна ln(2).
-
Пример с синусоидальным интегралом
- Вероятности нахождения в ячейках импульса выражаются через синусоидальный интеграл.
- Энтропия Шеннона минимизируется при нулевой ячейке для импульса в начале координат.
-
Энтропийная неопределенность
- Энтропийная неопределенность больше предельного значения.
- Hx + Hp ≈ 0.69 + 0.53 = 1.22 > ln(e/2) — ln(1) ≈ 0.31.
-
Соотношение неопределенности с тремя составляющими углового момента
- Для частицы с полным угловым моментом j имеет место соотношение неопределенности σJx2 + σJy2 + σJz2 ≥ j.
- Связь может быть усилена до σJx2 + σJy2 + FQ[ϱ, Jz]/4 ≥ j, где FQ[ϱ, Jz] — квантовая информация Фишера.
-
Гармонический анализ
- В гармоническом анализе принцип неопределенности подразумевает, что невозможно одновременно локализовать значение функции и её преобразование Фурье.
- Выполняется неравенство (∫−∞∞x2|f(x)|2dx)(∫−∞∞ξ2|f^(ξ)|2dξ) ≥ ‖f‖24/16π2.
-
Обработка сигналов
- В обработке сигналов принципы неопределенности называются пределом Габора.
- Функция не может быть ограничена как по времени, так и по диапазону.
- Предел Габора ограничивает одновременное разрешение по времени и частоте.
-
Дискретное преобразование Фурье
- Для дискретного преобразования Фурье выполняется неравенство ‖x‖0 ⋅ ‖X‖0 ≥ N.
- Равенство достигается, когда x или X — масса Дирака.
-
Теорема Бенедикса
- Теорема Бенедикса утверждает, что множество точек, где f не равно нулю, и множество точек, где ƒ не равно нулю, не могут быть малыми одновременно.
- ‖f‖L2(Rd) ≤ CeC|S||Σ|(‖f‖L2(Sc) + ‖f^‖L2(Σc)).
-
Принцип неопределенности Харди
- Харди сформулировал принцип неопределенности: невозможно, чтобы f и ƒ одновременно были «очень быстро убывающими».
- Если f ∈ L2(Rd) и ∫Rd∫Rd|f(x)||f^(ξ)|eπ|⟨x,ξ⟩|(1+|x|+|ξ|)Ndxdξ < +∞, то f(x) = P(x)e−π⟨Ax,x⟩.
-
Переосмысление квантовой теории
- Гейзенберг показал, что относительный порядок измерения положения и импульса важен.
- Работа с Борном и Джорданом привела к развитию матричной механики.
-
Принцип неопределенности
- В 1926 году Гейзенберг понял, что некоммутативность подразумевает принцип неопределенности.
- В 1927 году он определил принцип как минимальное количество неизбежных возмущений импульса при измерении положения.
- В 1930 году Гейзенберг усовершенствовал принцип, расширив его на любые две переменные, которые не коммутируют.
-
Неравенство Гейзенберга
- Кеннард доказал неравенство в 1927 году.
- Робертсон обобщил неравенство на все наблюдаемые в 1929 году.
- Шредингер расширил форму неравенства в 1930 году.
-
Терминология и перевод
- Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit» для описания принципа.
- В англоязычной версии учебника 1930 года использовалось слово «неопределенность».
-
Микроскоп Гейзенберга
- Гейзенберг использовал микроскоп для иллюстрации принципа неопределенности.
- Фотон с короткой длиной волны рассеивается, передавая электрону неопределенное количество импульса.
- Фотон с большой длиной волны не сильно влияет на импульс электрона, но рассеяние показывает его местоположение.
-
Критические реакции
- Копенгагенская интерпретация и принцип неопределенности рассматривались как разные цели.
- Эйнштейн и Бор обсуждали принцип неопределенности, но не пришли к согласию.
-
Идеал беспристрастного наблюдателя
- Паули назвал возражение Эйнштейна «идеалом беспристрастного наблюдателя».
- Эйнштейн считал, что наблюдение не может создать элемент реальности, как позиция.
-
Щель Эйнштейна
- Эйнштейн предложил мысленный эксперимент с частицей, проходящей через щель.
- Бор показал, что стенка также квантово-механическая и вносит неопределенность в положение щели.
-
Ящик Эйнштейна
- Эйнштейн предложил эксперимент с коробкой, содержащей свет.
- Бор показал, что эксперимент не может одновременно точно измерить энергию и время фотона.
-
ЭПР-парадокс и принцип неопределенности
- В 1935 году Эйнштейн, Подольский и Розен предложили парадокс, нарушающий принцип неопределенности.
- Джон Стюарт Белл в 1964 году опроверг это предположение, показав, что оно противоречит вероятностям экспериментов.
-
Критика Поппера
- Карл Поппер предложил статистическую интерпретацию соотношений неопределенности.
- В 1934 году он опубликовал «Критику отношений неопределенности» и «Логику развития».
- Поппер предложил эксперимент для фальсификации соотношений неопределенности, но позже отказался от него.
-
Свободная воля и квантовая механика
- Некоторые ученые предположили, что принцип неопределенности может свидетельствовать о свободе воли.
- Критика этой теории заключается в том, что квантовые механизмы маловероятны из-за декогеренции.
-
Термодинамика и принцип неопределенности
- Нарушение принципа неопределенности может нарушать второе начало термодинамики.
-
Отказ от принципа неопределенности
- Эдвин С. Кембл и Рудольф Хааг указали, что положение и импульс квантовых частиц не могут быть проверены экспериментально.
- Принцип неопределенности — это не фундаментальное квантовое свойство, а концепция.
-
Приложения принципа неопределенности
- Принцип неопределенности используется в спектроскопии и физике элементарных частиц.
- Некоторые эксперименты проверяют различные формы принципа неопределенности.
- Приложения включают технологию с низким уровнем шума и гравитационно-волновые интерферометры.