Оглавление
Проблема Бернсайда
-
Основные понятия теории групп
- Подгруппа, нормальная подгруппа, групповое действие, группа факторов, (полу-) прямой продукт, прямая сумма, бесплатный продукт, изделие из венка, ядро, изображение, простой, конечный, бесконечный, непрерывный, мультипликативный, добавка, циклический, абелевый, двугранный, нильпотентный, разрешимый
- Глоссарий по теории групп, список тем по теории групп, циклическая группа Zn, симметричная группа Sn, чередующаяся группа An, двугранная группа Dn, группа кватернионов Q, теорема Коши, теорема Лагранжа, теоремы Силова, теорема Холла, р-группа, элементарная абелева группа, группа Фробениуса, множитель Шура, циклический, переменный, тип лжи, спорадический, отдельные группы, решетки, целые числа (Z), свободная группа, PSL(2, Z), SL(2, Z), арифметическая группа, решетка, гиперболическая группа, соленоид, круг, общий линейный GL(n), специальный линейный SL(n), ортогональный O(n), евклидово значение E(n), специальный ортогональный SO(n), унитарный U(n), специальный унитарный SU(n), симплектический Sp(n), G2, F4, E6, E7, E8, Лоренц, Пуанкаре, конформный, диффеоморфизм, петля, O(∞), SU(∞), Sp(∞), линейная алгебраическая группа, восстановительная группа, абелево многообразие, эллиптическая кривая
-
Задача Бернсайда
- Вопрос о конечности конечнопорожденной группы с конечным порядком элементов
- Отрицательный ответ: Голод и Шафаревич построили бесконечную группу в 1964 году
- Ограниченная проблема Бернсайда: группы с ограниченным показателем степени
- Свободная группа Бернсайда B(m, n) как “самая большая” группа с заданным показателем степени
- Проблема Бернсайда II: конечность свободных групп Бернсайда для различных m и n
- Прорыв в решении: Новиков и Адиан показали, что для нечетных n > 4381 существуют бесконечные группы
- Иванов доказал бесконечность для четных n ≥ 248, кратных 29
- Ольшанский нашел контрпримеры для нечетных показателей, превышающих 1010
- Иванов и Ольшанский решили аналог задачи Бернсайда для гиперболических групп
-
Ограниченная проблема Бернсайда
- Вопрос о конечности группы с m образующими и показателем степени n
- Утвердительный ответ эквивалентен утверждению о конечности пределов в категории конечных групп с показателем n
- Пересечение двух нормальных подгрупп с конечным индексом является нормальной подгруппой с конечным индексом
-
Определение свободной ограниченной группы Бернсайда
- Пересечение всех нормальных подгрупп свободной группы Бернсайда с конечным индексом является нормальной подгруппой.
- Свободная ограниченная группа Бернсайда B0(m, n) определяется как фактор-группа B(m, n)/M.
-
Изоморфизм конечных групп
- Каждая конечная группа экспоненты n с m образующими изоморфна B(m, n)/N, где N — нормальная подгруппа с конечным индексом.
- Согласно Третьей теореме об изоморфизме, каждая конечная группа экспоненты n с m образующими изоморфна B0(m, n)/(N/M).
-
Ограниченная задача Бернсайда
- Вопрос о конечности B0(m, n) является частью ограниченной задачи Бернсайда.
- В случае простого показателя p проблема была решена А. Я. Кострикиным в 1950-х годах.
- Случай с произвольным показателем степени был полностью разрешен Ефимом Зельмановым в 1994 году.
-
История и библиография
- Джон Бриттон предложил альтернативное доказательство задачи Бернсайда в 1973 году, но Адиан указал на недостаток.
- Основные работы по проблеме Бернсайда включают книги А. Я. Кострикина, А. Ю. Ольшанского и S. Я. Адиана.