Моментальная проблема
-
Определение и существование меры
- В математике мера μ определяет отображение от пространства к последовательности моментов.
- Классическая задача о моменте рассматривает существование вероятностной меры с заданными средним значением, дисперсией и другими характеристиками.
-
Условия существования и формы меры
- Последовательность моментов mn является последовательностью моментов меры μ, если матрицы Ханкеля Hn положительны и полуопределены.
- Линейный функционал Λ, соответствующий матрицам Ханкеля, может быть расширен до R[x]∗.
- Теорема Хэвиленда утверждает, что функционал Λ имеет форму меры.
- Существование меры эквивалентно условию (1) для матриц Ханкеля.
-
Уникальность меры
- В задаче о моменте Хаусдорфа мера μ уникальна из-за теоремы аппроксимации Вейерштрасса.
- Для бесконечного интервала вопрос уникальности меры является более сложным.
-
Формальное решение и его вариации
- Решение задачи о моменте может быть записано с использованием производных дельта-функции Дирака.
- Задача об усеченном моменте изучает свойства мер с фиксированными первыми k моментами.
-
Применение в теории вероятностей
- Теорема Фреше-Шохата утверждает, что если моменты меры μ определены однозначно, то последовательность мер μn сходится к μ.
- Центральная предельная теорема следует из условия Карлемана для стандартных нормальных распределений.