Проблема Уайтхеда

• Проблема Уайтхеда в теории групп

  • Вопрос: каждая ли абелева группа с Ext1(A, Z) = 0 является свободной абелевой группой. 
  • Сахарон Шела доказал независимость проблемы Уайтхеда от стандартных аксиом теории множеств. 

• Улучшение проблемы Уайтхеда

  • Требование разделения коротких точных последовательностей эквивалентно условию Ext1(A, Z) = 0. 
  • Группы Уайтхеда — это абелевы группы, удовлетворяющие условию разделения коротких точных последовательностей. 
  • Усиление условия разделения приводит к эквивалентности свободы группы Уайтхеда. 

• Обратная сторона проблемы Уайтхеда

  • Обратная сторона: каждая свободная абелева группа является группой Уайтхеда. 
  • Вопрос: существуют ли группы Уайтхеда, отличные от свободных. 

• Доказательство Шелы

  • Шела показал, что проблема Уайтхеда не зависит от аксиом ZFC. 
  • Если каждый набор конструируем, то каждая группа Уайтхеда свободна. 
  • Если верны аксиома Мартина и отрицание гипотезы континуума, существует несвободная группа Уайтхеда. 

• Обсуждение и последствия

  • Проблема Уайтхеда была впервые поставлена Уайтхедом в 1950-х годах и вдохновлена проблемой троюродного брата. 
  • Штейн доказал разрешимость проблемы для счетных групп, но прогресс для больших групп был медленным. 
  • Результат Шелы о неразрешимости проблемы Уайтхеда был неожиданным и показал чувствительность теории абелевых групп к теории множеств. 

• Дальнейшие исследования

  • Проблема Уайтхеда остается неразрешимой даже при принятии гипотезы континуума. 
  • Утверждения о несчетных абелевых группах могут быть доказаны независимо от ZFC, что подчеркивает чувствительность теории к теории множеств.