Процесс Орнштейна–Уленбека
-
Определение и свойства процесса Орнштейна–Уленбека
- Процесс Орнштейна–Уленбека — стохастический процесс, применяемый в финансовой математике и физике.
- Процесс является стационарным процессом Гаусса–Маркова, что означает его гауссовскую природу, марковскую структуру и однородность во времени.
- Процесс стремится к своему среднему значению, что называется возвращением к среднему значению.
-
Математическое описание
- Процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением с параметрами θ и σ.
- Иногда добавляется дрейфовый термин μ.
- Процесс также можно записать в виде уравнения Ланжевена с белым шумом η(t).
-
Представление через функцию плотности вероятности
- Процесс можно описать через функцию плотности вероятности P(x, t), удовлетворяющую уравнению Фоккера–Планка.
- Вероятность перехода P(x, t | x’, t’) является гауссовой с средним значением x’e^-θ(t-t’) и дисперсией Dθ(1-e^-2θ(t-t’)).
-
Математические свойства
- Среднее значение и ковариация процесса зависят от начального значения x0.
- Для стационарного процесса среднее значение равно μ, а ковариация равна σ2/2θe^-θ|t-s|.
- Процесс Орнштейна–Уленбека имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей.
-
Свойства выборочных путей
- Процесс можно представить как масштабированный винеровский процесс.
- Закон повторяющегося логарифма для Wt можно преобразовать в соответствующие свойства для xt.
-
Формальное решение
- Стохастическое дифференциальное уравнение можно решить формально, изменяя параметры.
- Интеграция с 0 до t дает среднее значение и ковариационную функцию.
-
Уравнения Колмогорова
- Бесконечно малым генератором процесса является Lf = -θ(x-μ)f’ + 1/2σ2f».
- Уравнение на собственные значения упрощается до определяющего уравнения для многочленов Эрмита.
-
Численное моделирование
- Оценки максимального правдоподобия для параметров процесса асимптотически нормальны.
- Для численного моделирования производственного процесса можно использовать конечно-разностную формулу.
-
Интерпретация предела масштабирования
- Процесс Орнштейна–Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса.
- Процесс сходится к процессу Орнштейна–Уленбека при n → ∞.
-
Процесс Орнштейна–Уленбека в физике
- Простейший пример: пружина Гука с коэффициентом трения γ
- Длина пружины колеблется в зависимости от температуры T
- Эффективная константа диффузии D = σ2/2 = kBT/γ
- Модель используется для описания движения броуновской частицы
-
Процесс Орнштейна–Уленбека в финансовой математике
- Используется в модели процентной ставки Васичека
- Параметр μ представляет среднее значение, σ — волатильность, θ — скорость возврата к среднему
- Применяется в торговой стратегии торговли парами
- Марчелло Миненна разработал модель для моделирования доходности акций
-
Процесс Орнштейна–Уленбека в эволюционной биологии
- Усовершенствованная модель броуновского движения
- Метаанализ показал, что модель подходит для 115 из 250 временных рядов
- Трудности в выборе модели и интерпретации данных
-
Обобщения и многомерные версии
- Управляемый Леви процесс Орнштейна–Уленбека с процессом Леви вместо Винера
- Процесс CKLS с волатильностью, возрастающей при больших значениях X
- Многомерная версия с N-мерным вектором xt и матрицами β и σ
- Решение в терминах функции плотности вероятности P(xt, t)
-
Одномерный случай
- Процесс представляет собой линейное преобразование гауссовых случайных величин
- Вероятность перехода P(xt, t′) — гауссова функция
- Стационарное решение Pул(xt) существует при положительных действительных частях собственных значений β
-
Дополнительные ресурсы
- Стохастическое исчисление
- Процесс приготовления сосисок
- Гауссовский процесс
- Математические финансы
- Модель процентных ставок Васичека
- Модель краткосрочных ставок
- Диффузия
- Теорема о флуктуации и диссипации
- Уравнение Клейна–Крамерса