Процесс Орнштейна–Уленбека

Процесс Орнштейна–Уленбека Определение и свойства процесса Орнштейна–Уленбека Процесс Орнштейна–Уленбека — стохастический процесс, применяемый в финансовой математике и физике.   Процесс является […]

Процесс Орнштейна–Уленбека

  • Определение и свойства процесса Орнштейна–Уленбека

    • Процесс Орнштейна–Уленбека — стохастический процесс, применяемый в финансовой математике и физике.  
    • Процесс является стационарным процессом Гаусса–Маркова, что означает его гауссовскую природу, марковскую структуру и однородность во времени.  
    • Процесс стремится к своему среднему значению, что называется возвращением к среднему значению.  
  • Математическое описание

    • Процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением с параметрами θ и σ.  
    • Иногда добавляется дрейфовый термин μ.  
    • Процесс также можно записать в виде уравнения Ланжевена с белым шумом η(t).  
  • Представление через функцию плотности вероятности

    • Процесс можно описать через функцию плотности вероятности P(x, t), удовлетворяющую уравнению Фоккера–Планка.  
    • Вероятность перехода P(x, t | x’, t’) является гауссовой с средним значением x’e^-θ(t-t’) и дисперсией Dθ(1-e^-2θ(t-t’)).  
  • Математические свойства

    • Среднее значение и ковариация процесса зависят от начального значения x0.  
    • Для стационарного процесса среднее значение равно μ, а ковариация равна σ2/2θe^-θ|t-s|.  
    • Процесс Орнштейна–Уленбека имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей.  
  • Свойства выборочных путей

    • Процесс можно представить как масштабированный винеровский процесс.  
    • Закон повторяющегося логарифма для Wt можно преобразовать в соответствующие свойства для xt.  
  • Формальное решение

    • Стохастическое дифференциальное уравнение можно решить формально, изменяя параметры.  
    • Интеграция с 0 до t дает среднее значение и ковариационную функцию.  
  • Уравнения Колмогорова

    • Бесконечно малым генератором процесса является Lf = -θ(x-μ)f’ + 1/2σ2f».  
    • Уравнение на собственные значения упрощается до определяющего уравнения для многочленов Эрмита.  
  • Численное моделирование

    • Оценки максимального правдоподобия для параметров процесса асимптотически нормальны.  
    • Для численного моделирования производственного процесса можно использовать конечно-разностную формулу.  
  • Интерпретация предела масштабирования

    • Процесс Орнштейна–Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса.  
    • Процесс сходится к процессу Орнштейна–Уленбека при n → ∞.  
  • Процесс Орнштейна–Уленбека в физике

    • Простейший пример: пружина Гука с коэффициентом трения γ  
    • Длина пружины колеблется в зависимости от температуры T  
    • Эффективная константа диффузии D = σ2/2 = kBT/γ  
    • Модель используется для описания движения броуновской частицы  
  • Процесс Орнштейна–Уленбека в финансовой математике

    • Используется в модели процентной ставки Васичека  
    • Параметр μ представляет среднее значение, σ — волатильность, θ — скорость возврата к среднему  
    • Применяется в торговой стратегии торговли парами  
    • Марчелло Миненна разработал модель для моделирования доходности акций  
  • Процесс Орнштейна–Уленбека в эволюционной биологии

    • Усовершенствованная модель броуновского движения  
    • Метаанализ показал, что модель подходит для 115 из 250 временных рядов  
    • Трудности в выборе модели и интерпретации данных  
  • Обобщения и многомерные версии

    • Управляемый Леви процесс Орнштейна–Уленбека с процессом Леви вместо Винера  
    • Процесс CKLS с волатильностью, возрастающей при больших значениях X  
    • Многомерная версия с N-мерным вектором xt и матрицами β и σ  
    • Решение в терминах функции плотности вероятности P(xt, t)  
  • Одномерный случай

    • Процесс представляет собой линейное преобразование гауссовых случайных величин  
    • Вероятность перехода P(xt, t′) — гауссова функция  
    • Стационарное решение Pул(xt) существует при положительных действительных частях собственных значений β  
  • Дополнительные ресурсы

    • Стохастическое исчисление  
    • Процесс приготовления сосисок  
    • Гауссовский процесс  
    • Математические финансы  
    • Модель процентных ставок Васичека  
    • Модель краткосрочных ставок  
    • Диффузия  
    • Теорема о флуктуации и диссипации  
    • Уравнение Клейна–Крамерса  

Полный текст статьи:

Процесс Орнштейна–Уленбека

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх