Оглавление
- 1 Проекция (линейная алгебра)
- 1.1 Определение проекции
- 1.2 Ортогональные проекции
- 1.3 Примеры проекций
- 1.4 Свойства и классификация
- 1.5 Произведение проекций
- 1.6 Ортогональные проекции в гильбертовых пространствах
- 1.7 Неравенство Коши–Шварца
- 1.8 Ортогональные проекции на прямую
- 1.9 Ортогональные проекции на подпространство
- 1.10 Неортонормированные базисы
- 1.11 Проекции с произвольным внутренним произведением
- 1.12 Проекции на рамки
- 1.13 Наклонные проекции
- 1.14 Формула матричного представления
- 1.15 Проекции и их свойства
- 1.16 Сингулярные значения и норма
- 1.17 Поиск проекции с помощью внутреннего продукта
- 1.18 Канонические формы проекций
- 1.19 Проекции на нормированные векторные пространства
- 1.20 Дополнительные замечания
- 1.21 Проекции и их свойства
- 1.22 Области применения проекций
- 1.23 Аналитические обобщения
- 1.24 Обобщения проекций
- 1.25 Примеры и рекомендации
- 1.26 Дополнительные ресурсы
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Проекция (линейная алгебра) – Arc.Ask3.Ru
Проекция (линейная алгебра)
-
Определение проекции
- Проекция — это линейное преобразование из векторного пространства в себя, такое, что P2 = P.
- Проекция является идемпотентной, то есть P2 = P.
- Изображение проекции остается неизменным.
-
Ортогональные проекции
- В гильбертовом пространстве проекция называется ортогональной, если ⟨Px, y⟩ = ⟨x, Py⟩ для всех x, y.
- Ортогональная проекция удовлетворяет P2 = P = P^T для реальной матрицы и P2 = P = P^* для сложной матрицы.
- Наклонная проекция — это проекция, которая не является ортогональной.
-
Примеры проекций
- Ортогональная проекция на плоскость xy в трехмерном пространстве.
- Наклонная проекция, где α ≠ 0.
-
Свойства и классификация
- Проекция является открытой картой на своем изображении.
- Проекция обладает свойствами идентификации на образе и прямой суммы на ядре.
- Спектр проекции содержится в {0, 1}.
- Ортогональные проекции являются самосопряженными.
-
Произведение проекций
- Произведение проекций, как правило, не является проекцией.
- Если две проекции коммутируют, их произведение является проекцией.
- Если две ортогональные проекции пересекаются, их произведение является ортогональной проекцией.
-
Ортогональные проекции в гильбертовых пространствах
- Ортогональная проекция в гильбертовом пространстве удовлетворяет ⟨Px, y⟩ = ⟨x, Py⟩.
- Ортогональная проекция является самосопряженной.
- Ортогональная проекция ограничена.
-
Неравенство Коши–Шварца
- Проекция удовлетворяет неравенству Коши–Шварца: ‖P(v)‖ ≤ ‖v‖.
- Для конечномерных комплексных или вещественных векторных пространств внутреннее произведение может быть заменено на ⟨⋅, ⋅⟩.
-
Ортогональные проекции на прямую
- Проекция на прямую задается внешним произведением: P(u) = uuT.
- Оператор оставляет u инвариантным и уничтожает все векторы, ортогональные u.
-
Ортогональные проекции на подпространство
- Проекция на подпространство задается матрицей A: P(A) = AAT.
- Матрица AT является частичной изометрией, которая обращается в нуль при ортогональном дополнении U.
-
Неортонормированные базисы
- Проекция задается матрицей A: P(A) = A(ATA)−1AT.
- Матрица (ATA)−1 является “нормализующим фактором”, восстанавливающим норму.
-
Проекции с произвольным внутренним произведением
- Проекция задается с помощью argmin‖x-y‖D2.
- P(A) = A(ATDA)−1ATD.
-
Проекции на рамки
- Проекция задается матрицей AA+.
- A+ расшифровывается как псевдовселенная Мура–Пенроуза.
-
Наклонные проекции
- Наклонные проекции используются для представления пространственных фигур на двумерных чертежах.
- Проекция определяется ее ядром и базисными векторами, используемыми для характеристики ее диапазона.
-
Формула матричного представления
- Проекция P задается матрицей A(BTA)−1BT.
- Это выражение обобщает формулу для ортогональных проекций.
-
Проекции и их свойства
- Проекция P на векторное пространство V определяется как Px = Ax, где Ax = Ax.
- Проекция P является ортогональной, если A = B.
- В общем случае, если V над полем комплексных чисел, используется эрмитово транспонирование.
-
Сингулярные значения и норма
- Сингулярные значения P и I-P могут быть вычислены с помощью ортонормированного базиса.
- Наибольшие сингулярные значения P и I-P равны, но номер условия не обязательно равен.
-
Поиск проекции с помощью внутреннего продукта
- Проекция y на V определяется как y = projV(y) + z, где z — наименьшее расстояние от y до V.
-
Канонические формы проекций
- Любая проекция P на векторном пространстве размерности d над полем имеет диагонализируемую матрицу.
- В сложном векторном пространстве с внутренним произведением матрица P имеет форму I_m ⊕ 0_s, где I_m — единичная матрица размера m, а 0_s — нулевая матрица размера s.
-
Проекции на нормированные векторные пространства
- В нормированных векторных пространствах проекции сохраняют многие алгебраические свойства.
- Проекция P на X = U ⊕ V определяется как P(u + v) = u.
- Проекции не обязательно непрерывны, но диапазон и ядро непрерывной проекции замкнуты.
- Непрерывная проекция дает разложение X на два замкнутых подпространства.
-
Дополнительные замечания
- В гильбертовых пространствах всегда можно найти дополнительное замкнутое подпространство.
- В банаховых пространствах одномерное подпространство всегда имеет замкнутое дополнительное подпространство.
-
Проекции и их свойства
- Проекции являются частным случаем идемпотентов
- Ограниченность φ подразумевает непрерывность P, что делает ker(P) замкнутым дополнительным подпространством U
-
Области применения проекций
- Проекции используются в QR-декомпозиции, разложении по сингулярным значениям, приведении к форме Гессенберга и линейной регрессии
- Проективные элементы матричных алгебр применяются в операторной K-теории
-
Аналитические обобщения
- Ортогональные проекции являются некоммутативными обобщениями характеристических функций
- Идемпотенты используются в классификации полупростых алгебр и теории меры
-
Обобщения проекций
- В более общем плане, отображение между нормированными векторными пространствами должно быть изометрией на ортогональном дополнении к ядру
- Случай ортогональной проекции — это когда W является подпространством V
-
Примеры и рекомендации
- Центрирующая матрица является примером проекционной матрицы
- Проекционный алгоритм Дикстры используется для вычисления проекции на пересечение множеств
- Инвариантное подпространство и спектральный анализ методом наименьших квадратов также связаны с проекциями
-
Дополнительные ресурсы
- Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о проекционных матрицах
- Учебное пособие по плоским геометрическим проекциям