Проективное представление
-
Проективные представления групп
- Проективное представление группы G в векторном пространстве V над полем F — это групповой гомоморфизм из G в проективную линейную группу PGL(V).
- Проективное представление представляет собой набор операторов ρ(g) ∈ GL(V), удовлетворяющих свойству гомоморфизма с точностью до постоянной.
- Проективное представление может быть «де-проективизировано», если можно выбрать конкретного представителя ρ(g) ∈ ρ~(g) для каждого g ∈ G.
-
Линейные представления и проективные представления
- Проективное представление можно получить из линейного представления G на V, применив факторное отображение.
- Общее проективное представление не может быть преобразовано в линейное представление G → GL(V).
- Можно создать проективное представление ρ из G в линейное представление другой группы H, которая является центральным продолжением G.
-
Групповые когомологии
- Анализ вопроса о подъеме связан с групповыми когомологиями.
- Подъемные силы удовлетворяют уравнению коцикла, что приводит к проблеме расширения для G.
- Решение всегда заключается в центральном расширении.
-
Пример: дискретное преобразование Фурье
- Проективное представление от Z/p × Z/p на p-мерное пространство функций на Z/p со значениями в C.
- Операторы T_a и S_a коммутируют, что делает ρ проективным представлением.
- Центральное продолжение H является группой всех операторов вида для a, b, c ∈ Z/p.
-
Проективные представления групп Ли
- Изучение проективных представлений групп Ли приводит к рассмотрению истинных представлений их центральных расширений.
- В случае связного покрытия G^ группы Ли G, неприводимое унитарное представление Π G^ снизойдет до G.
- Проективное представление ρ от G определяется через прообраз g^ в G^.
-
Проективные представления и их примеры
- Проективные представления действуют как скаляры, значение не зависит от выбора элемента.
- Пример: группа вращения SO(3) с универсальным покрытием SU(2).
- В четных размерностях SO(3) имеет проективные представления, называемые спинориальными.
-
Примеры покрытий и проективные представления
- SO(n, F) дважды покрывается Spin(n, F), SO(3) дважды покрывается SU(2).
- SO+(3; 1) дважды покрывается SL2(C), группа Пуанкаре дважды покрывается SL2(C) и R4.
- O(n) дважды покрывается Pin±(n), Sp(2n) дважды покрывается Mp(2n).
-
Конечномерные проективные унитарные представления
- В квантовой физике симметрия реализуется через проективное унитарное представление.
- Проективное унитарное представление алгебры Ли можно депроективизировать, выбрав нулевого представителя.
- Каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из определителя-одного обычного унитарного представления.
-
Бесконечномерные проективные унитарные представления
- В бесконечномерном случае след от ρ∗(X) не определен, что делает депроективизирование невозможным.
- Пример: перемещения в пространстве положений и импульсов для квантовой частицы в Rn.
-
Теорема Баргмана
- Теорема утверждает, что проективное унитарное представление можно депроективизировать после перехода к универсальному покрытию.
- Теорема неприменима к группе R2n, но применима к полупростым группам и группе Пуанкаре.
- Доказательство основано на рассмотрении центрального расширения H от G.
-
Определение группы H
- Группа H определяется как подгруппа прямой продуктовой группы G × U(H), где H — Гильбертово пространство, а U(H) — группа унитарных операторов на H.
- Карта ϕ: H → G является сюръективным гомоморфизмом с ядром {(e, cI) | |c| = 1}, что делает H центральным продолжением G.
-
Линейное представление σ
- Линейное представление σ от H определяется как σ(g, U) = U.
- σ является подъемом ρ в смысле ρ ∘ ϕ = π ∘ σ, где π — частное отображение из U(H) в PU(H).
-
Группа Лжи H
- H является группой Лжи, что не очевидно для бесконечномерных H.
- H является центральным продолжением одномерной группы Ли из G, что делает алгебру Ли h одномерным центральным продолжением g.
-
Универсальная крышка H~
- Универсальная крышка H~ от H является прямой суммой универсальной крышки G с копией реальной строки.
- Подъем σ от H к H~ можно ограничить универсальным покрытием G~ от G.