Оглавление [Скрыть]
- 1 Программа Лэнглендса
- 1.1 Программа Лэнглендса
- 1.2 Основные идеи
- 1.3 Исторический контекст
- 1.4 Объекты и предположения
- 1.5 Взаимность
- 1.6 Функциональность
- 1.7 Геометрические гипотезы
- 1.8 Статус
- 1.9 Классификация Лэнглендса
- 1.10 Доказательства Уайлса
- 1.11 Теорема Лаффорга
- 1.12 Глобальное соответствие Ленглендса
- 1.13 Местные гипотезы Ленглендса
- 1.14 Фундаментальная лемма
- 1.15 Последствия программы Лэнглендса
- 1.16 Проект Лэнглендса
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Программа Ленглендса
Программа Лэнглендса
-
Программа Лэнглендса
- Набор гипотез о связях между теорией чисел и геометрией
- Предложена Робертом Лэнглендсом в 1967 и 1970 годах
- Связывает группы Галуа с автоморфными формами и теорией представлений
-
Основные идеи
- Фундаментальная лемма связывает обобщенное фундаментальное представление с автоморфными формами
- Аналитические методы позволяют строить инвариантные преобразования числовых полей
- Программа предоставляет общий инструмент для решения проблемы инвариантности
-
Исторический контекст
- Основана на идеях Хариша-Чандры и Гельфанда
- Включает формулу трассировки Сельберга
- Лэнгленд предложил связь с теорией чисел и функториальность
-
Объекты и предположения
- Гипотезы применимы к различным группам и областям
- Включают представления редуктивных групп и автоморфные формы
- Гипотезы могут быть сформулированы по-разному
-
Взаимность
- Закон взаимности Артина обобщает квадратичную взаимность
- Лэнгленд обобщил L-функции Дирихле на автоморфные каспидальные представления
- Гипотеза взаимности связывает автоморфные представления с гомоморфизмами L-групп
-
Функциональность
- Гипотеза функториальности утверждает соответствие между автоморфными формами и представлениями
- Лэнгленд обобщил идею на другие редуктивные группы
- Гипотеза подразумевает все остальные гипотезы
-
Геометрические гипотезы
- Геометрическая программа Лэнглендса связывает l-адические представления с объектами производной категории
- Совместный проект доказал геометрическую гипотезу Лэнглендса
-
Статус
- Гипотезы для GL (1, K) эквивалентны теории полей классов
- Лэнгленд доказал гипотезы для групп над архимедовыми локальными полями
-
Классификация Лэнглендса
- Классификация неприводимых представлений групп типа Ли над конечными полями
- Аналог гипотез Ленглендса для конечных полей
-
Доказательства Уайлса
- Модульность полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами
- Пример гипотезы взаимности Ленглендса
-
Теорема Лаффорга
- Доказательство гипотез Ленглендса для GL(n, K) для функциональных полей K
- Продолжение исследований Дринфельда
-
Глобальное соответствие Ленглендса
- Винсент Лаффорг установил глобальное соответствие для связанных редуктивных групп над глобальными функциональными полями
-
Местные гипотезы Ленглендса
- Филипп Куцко доказал локальные гипотезы для GL(2, K) над локальными полями
- Жерар Ломон, Майкл Рапопорт и Ульрих Штулер доказали локальные гипотезы для GL(n, K) для положительных характеристических локальных полей K
- Майкл Харрис и Ричард Тейлор доказали локальные гипотезы для GL(n, K) для локальных полей характеристики 0 K
- Гай Хенниарт и Питер Шольце также привели доказательства
-
Фундаментальная лемма
- Нго Бо Чау доказал фундаментальную лемму в 2008 году
-
Последствия программы Лэнглендса
- Связь между аналитической теорией чисел и алгебраической геометрией
- Создание функциональных инструментов для распределения простых чисел
- Классификация диофантовых уравнений и абстрагирование алгебраических функций
- Возможность доказательства глубоких результатов в математике
- Примеры включают рациональные решения эллиптических кривых и гипотезу Римана
- Связь с М-теорией и потенциальными решениями в теории суперструн
-
Проект Лэнглендса
- Глубокая и мощная база решений
- Обобщения высокого порядка в точных решениях алгебраических уравнений
- Объединение многих математических областей в формализм аналитических методов