Свободное пространство

• Определение пространства Бэра

  • Пространство Бэра — топологическое пространство, в котором каждое открытое плотное множество имеет непустую внутренность. 
  • Пространство Бэра является обобщением понятия метризуемого пространства. 

• Эквивалентности и теорема о категориях Бэра

  • Эквивалентность между пространством Бэра и множеством, имеющим внутреннюю точку, и между пространством Бэра и объединением замкнутых множеств. 
  • Теорема о категориях Бэра устанавливает достаточные условия для пространства Бэра, включая полные псевдометрические пространства и локально компактные регулярные пространства. 

• Свойства пространств Бэра

  • Каждое пространство Бэра не является малым и эквивалентно тому, что пересечения плотных открытых множеств являются плотными. 
  • Каждое открытое подпространство и плотное множество Gδ пространства Бэра также являются пространствами Бэра. 
  • Каждое значение в пространстве Бэра и каждое замкнутое подпространство могут быть согласованы или нет. 
  • Произведение и сумма пространств Бэра также являются пространствами Бэра, но произведение двух пространств Бэра не всегда является Бэром. 

• Примеры пространств Бэра

  • Пустое пространство и пространство вещественных чисел являются пространствами Бэра. 
  • Пространство рациональных чисел не является пространством Бэра, так как оно скудное. 
  • Пространство иррациональных чисел является пространством Бэра, так как оно согласовано в вещественных числах. 
  • Некоторые примеры пространств Бэра не удовлетворяют теореме о категориях Бэра из-за их нелокальной компактности или неполной метризуемости. 

• Дополнительные сведения

  • В статье также упоминаются другие связанные понятия, такие как игра в Банах-Мазур, цилиндрическое пространство и теорема Блумберга.