Оглавление [Скрыть]
- 1 Прямая сумма модулей
- 1.1 Определение прямой суммы
- 1.2 Примеры прямой суммы
- 1.3 Построение для векторных пространств
- 1.4 Построение для абелевых групп
- 1.5 Построение для произвольного семейства модулей
- 1.6 Внутренняя прямая сумма
- 1.7 Универсальное свойство
- 1.8 Группа Гротендика
- 1.9 Расширение моноидов до абелевых групп
- 1.10 Прямая сумма модулей с дополнительной структурой
- 1.11 Прямая сумма алгебр
- 1.12 Прямая сумма банаховых пространств
- 1.13 Прямая сумма модулей с билинейными формами
- 1.14 Прямая сумма гильбертовых пространств
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Прямая сумма модулей – Arc.Ask3.Ru
Прямая сумма модулей
-
Определение прямой суммы
- Прямая сумма объединяет несколько модулей в новый модуль.
- Это наименьший модуль, содержащий данные модули как подмодули.
- Прямая сумма является примером совместного продукта.
-
Примеры прямой суммы
- Векторные пространства и абелевы группы.
- Банаховы и гильбертовы пространства.
-
Построение для векторных пространств
- Декартово произведение векторных пространств.
- Прямая сумма обозначается символом плюс внутри круга.
- Размерность равна сумме размерностей исходных векторных пространств.
-
Построение для абелевых групп
- Прямое произведение абелевых групп.
- Ранг равен сумме рангов исходных абелевых групп.
-
Построение для произвольного семейства модулей
- Прямая сумма определяется как совокупность последовательностей элементов модулей.
- Прямая сумма становится левым R-модулем.
- Свойства: подмодуль прямого произведения, изоморфизм с тензорным произведением, коммутативность и ассоциативность.
-
Внутренняя прямая сумма
- M является внутренней прямой суммой подмодулей Mi, если каждый элемент M может быть записан как сумма конечного числа элементов Mi.
- M изоморфно внешней прямой сумме Mi.
-
Универсальное свойство
- Прямая сумма является копроизведением и пределом в категории левых R-модулей.
- Существует ровно одно R-линейное отображение, удовлетворяющее условию для всех i.
-
Группа Гротендика
- Прямая сумма придает набору объектов структуру коммутативного моноида.
-
Расширение моноидов до абелевых групп
- Вычитание может быть определено для коммутативных моноидов.
- Расширение до абелевой группы называется группой Гротендика.
- Конструкция основана на определении классов эквивалентности пар объектов.
-
Прямая сумма модулей с дополнительной структурой
- Прямая сумма модулей с дополнительной структурой используется для получения побочного продукта в соответствующей категории.
- Примеры: банаховы и гильбертовы пространства.
-
Прямая сумма алгебр
- Прямая сумма алгебр X и Y является прямой суммой векторных пространств с произведением.
- Уэддерберн различает прямую сумму и прямое произведение алгебр.
- В теории категорий прямая сумма Уэддерберна является категориальным произведением, а прямое произведение — копроизведением.
-
Прямая сумма банаховых пространств
- Прямая сумма двух банаховых пространств X и Y является прямой суммой векторных пространств с нормой.
- Прямая сумма набора банаховых пространств — это модуль с нормой, определяемой суммой норм.
- Замкнутое подпространство дополняется, если существует другое замкнутое подпространство, с которым оно образует внутреннюю прямую сумму.
-
Прямая сумма модулей с билинейными формами
- Ортогональная прямая сумма — это прямая сумма модулей с билинейной формой.
- Суммирование имеет смысл даже для бесконечных наборов индексов.
-
Прямая сумма гильбертовых пространств
- Для конечного числа гильбертовых пространств можно построить ортогональную прямую сумму.
- Для бесконечного числа гильбертовых пространств можно определить прямую сумму как пространство функций с конечной нормой.
- Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме копий базового поля.
- Каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняется.
- Теорема Линденштраусса–Цафрири утверждает, что если каждое замкнутое подпространство банахова пространства дополнено, то банахово пространство изоморфно гильбертову пространству.