Оглавление [Скрыть]
Рациональная нормальная кривая
-
Определение рациональной нормальной кривой
- Рациональная нормальная кривая (C) — гладкая рациональная кривая степени n в проективном n-пространстве Pn.
- Формально это многообразие Веронезе, когда областью является проективная прямая.
- При n = 2 это плоская коника, при n = 3 — скрученная кубическая.
-
Параметрическое задание
- Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как изображение карты, присваивающей однородным координатам [S : T] значение.
- В аффинных координатах карта представляет собой замыкание аффинной кривой на одну точку на бесконечности.
- Альтернативно, рациональную нормальную кривую можно понимать как проективное многообразие, определяемое как общее нулевое местоположение однородных многочленов.
-
Альтернативная параметризация
- Пусть [a_i : b_i] — n + 1 различных точек в P1.
- Многочлен G(S, T) представляет собой однородный многочлен степени n + 1 с различными корнями.
- Карта или деление на G(S, T) представляет собой рациональную нормальную кривую.
-
Свойства рациональной нормальной кривой
- Любые n + 1 точки на C линейно независимы и охватывают Pn.
- Касательная и секущая линии рациональной нормальной кривой попарно не пересекаются, за исключением точек самой кривой.
- Кривая не является полным пересечением при n > 2.
-
Каноническое отображение
- Каноническое отображение для гиперэллиптической кривой имеет вид рациональной нормальной кривой и составляет 2 к 1.
- Каждая неприводимая невырожденная кривая C ∈ Pn степени n является рациональной нормальной кривой.