Рациональная теория гомотопий

• Определение и свойства рациональных гомотопических типов

  • Рациональные гомотопические типы — это инварианты, описывающие топологические пространства с рациональными коэффициентами. 
  • Они связаны с алгебрами когомологий, которые являются дифференциальными градуированными алгебрами с коэффициентами в поле рациональных чисел. 
  • Рациональные гомотопические типы определяются как классы эквивалентности таких алгебр, и они являются инвариантами, сохраняющимися при гомотопических эквивалентностях. 

• Минимальные модели Салливана

  • Салливан предложил метод построения минимальных моделей для пространств с рациональными коэффициентами. 
  • Эти модели имеют конечную размерность и являются уникальными с точностью до изоморфизма. 
  • Они позволяют связать рациональные гомотопические типы с алгебрами когомологий. 

• Формальные пространства и примеры

  • Формальные пространства имеют модель с нулевым дифференциалом, что эквивалентно тому, что их кольцо когомологий полностью определяет их гомотопический тип. 
  • Примеры формальных пространств включают сферы, H-пространства и компактные многообразия Келера. 
  • Неформальные пространства могут иметь нетривиальные продукты Масси, как в случае дополнения к кольцам Борромео. 

• Рациональные гомотопические типы пространств

  • Теория рациональных гомотопий позволяет классифицировать пространства по их рациональным гомотопическим типам. 
  • Существуют пространства с рациональными гомотопическими группами, которые равны нулю в достаточно высоких степенях, и пространства с экспоненциально растущими группами. 
  • Феликс и Гальперин показали, что если пространство рационально гиперболично, то существуют константы C и N, такие что его рациональные гомотопические группы растут экспоненциально. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.