Ранг (дифференциальная топология)

• Определение ранга дифференцируемого отображения

  • Ранг отображения f: M → N в точке p равен рангу производной от f в точке p. 
  • Производная от f в точке p представляет собой линейную карту между касательными пространствами. 

• Понятие карт постоянного ранга

  • Отображение f имеет постоянный ранг k, если ранг f одинаков для всех точек в M. 
  • Карты постоянного ранга обладают определенными свойствами и важны в дифференциальной топологии. 

• Особые случаи карт постоянного ранга

  • Отображение f является погружением, если ранг f равен размерности M. 
  • Отображение f является погружением, если ранг f равен размерности N. 
  • Отображение f является локальным диффеоморфизмом, если ранг f равен размерности M = размерности N. 

• Описание карт постоянного ранга в локальных координатах

  • Для гладких многообразий M и N с размерами m и n соответственно, отображение f с постоянным рангом k может быть описано в локальных координатах. 

• Примеры карт постоянного ранга

  • В сферических координатах на сфере ранг отображения от двух углов к точке на сфере равен 2 в обычных точках, но равен 1 на полюсах. 
  • В группе вращения SO(3) отображение из трех торов в реальное проективное пространство RP3 имеет ранг 2 в обычных точках, но ранг 1 на полюсах из-за явления карданной блокировки. 

• Рекомендации по форматированию

  • Статья содержит инструкции по форматированию библиографических описаний и ссылок в HTML.