Оглавление
Равномерно гладкое пространство
-
Определение равномерно гладкого пространства
- Равномерно гладкое пространство X удовлетворяет условию: для каждого ϵ > 0 существует δ > 0 такое, что если x, y ∈ X с ‖x‖ = 1 и ‖y‖ ≤ δ, то ‖x − y‖ ≤ ϵ.
- Модуль гладкости pX(t) определяется для каждого t > 0 по формуле pX(t) = sup{‖x‖: ‖x‖ = 1, ‖y‖ ≤ t}.
-
Свойства равномерно гладких пространств
- Каждое равномерно гладкое банахово пространство является рефлексивным.
- Банахово пространство X является равномерно гладким тогда и только тогда, когда его непрерывный двойной X∗ является равномерно выпуклым.
- Модули выпуклости и гладкости связаны через предел.
-
Примеры равномерно гладких пространств
- Lp-пространства при 1 < p < ∞ являются равномерно гладкими и равномерно выпуклыми.
- Класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом суперрефлексивных банаховых пространств.
-
Теорема Пизье о перенормировке
- Суперрефлексивное пространство X допускает эквивалентную равномерно гладкую норму с модулем гладкости pX при некоторой константе C и некотором p > 1.
- Каждое сверхрефлексивное пространство Y допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму с модулем выпуклости при некоторой постоянной c > 0 и некотором положительном вещественном q.
-
Метод усреднения Асплунда
- Если нормированное пространство допускает две эквивалентные нормы, одну равномерно выпуклую и одну равномерно гладкую, метод усреднения Асплунда позволяет получить другую эквивалентную норму, которая является как равномерно выпуклой, так и равномерно гладкой.