Оглавление
- 1 Равномерно распределенная последовательность
- 1.1 Равномерное распределение последовательностей
- 1.2 Определение равномерного распределения
- 1.3 Несоответствие и интегральный критерий Римана
- 1.4 Равнораспределение по модулю 1
- 1.5 Критерий Вейля
- 1.6 Полное равномерное распределение
- 1.7 Разностная теорема Ван дер Корпута
- 1.8 Метрические теоремы
- 1.9 Хорошо распределенная последовательность
- 1.10 Последовательности, равномерно распределенные по произвольной мере
- 1.11 Общее явление равнораспределения
- 1.12 Смотрите также
- 1.13 Записи
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Равнораспределенная последовательность
Равномерно распределенная последовательность
-
Равномерное распределение последовательностей
- Последовательность (s1, s2, s3, …) называется равномерно распределенной, если доля членов, попадающих в подинтервал, пропорциональна длине этого подинтервала.
- Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и имеют приложения для интегрирования по методу Монте-Карло.
-
Определение равномерного распределения
- Последовательность равномерно распределена на интервале [a, b], если для каждого подинтервала [c, d] из [a, b] доля элементов, попадающих в этот подинтервал, стремится к нулю при увеличении n.
- Это не означает, что последовательность является случайной, а скорее, что она заполняет сегмент без пробелов.
-
Несоответствие и интегральный критерий Римана
- Расхождение DN для последовательности (s1, s2, s3, …) относительно интервала [a, b] стремится к нулю при N стремящемся к бесконечности.
- Равномерное распределение эквивалентно интегральному критерию Римана: для каждой интегрируемой по Риману функции f, интеграл f(s1, …, sn) стремится к интегралу f(a, b).
-
Равнораспределение по модулю 1
- Последовательность (a1, a2, a3, …) называется равномерно распределенной по модулю 1, если последовательность дробных частей an равномерно распределена в интервале [0, 1].
- Примеры: последовательность всех кратных иррационального α, последовательность Ван дер Корпута.
-
Критерий Вейля
- Последовательность an равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ,
- Критерий Вейля позволяет свести вопросы о равнораспределении к границам экспоненциальных сумм.
-
Полное равномерное распределение
- Последовательность (a1, a2, …) называется k-равномерно распределенной по модулю 1, если последовательность дробных частей an равномерно распределена в [0, 1] и последовательность bn равномерно распределена в [0, 1]k.
- Последовательность полностью равномерно распределена по модулю 1, если она k-равномерно распределена для каждого натурального числа k ≥ 1.
-
Разностная теорема Ван дер Корпута
- Теорема Йоханнеса ван дер Корпута утверждает, что если для каждого h последовательность sn+h − sn равномерно распределена по модулю 1, то то же самое относится и к sn.
- Множество Ван дер Корпута — это множество H целых чисел, такое, что если для каждого h в H последовательность sn + h – sn равномерно распределена по модулю 1, то то же самое относится и к sn.
-
Метрические теоремы
- Описывают поведение параметризованной последовательности почти для всех значений параметра α.
- Для любой последовательности различных целых чисел bn последовательность (bna) равномерно распределена по модулю 1 почти для всех значений α.
- Последовательность (αn) равномерно распределена по модулю 1 почти для всех значений α > 1.
- Неизвестно, являются ли последовательности (en) или (πn) равнораспределенными по модулю 1.
- Последовательность (an) не является равномерно распределенной по модулю 1, если α является числом PV.
-
Хорошо распределенная последовательность
- Последовательность (s1, s2, s3, …) действительных чисел хорошо распределена по [a, b], если для любого подинтервала [c, d] из [a, b] мы имеем равномерно в k.
- Каждая хорошо распределенная последовательность распределена равномерно, но обратное неверно.
- Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.
-
Последовательности, равномерно распределенные по произвольной мере
- Для произвольного пространства вероятностных измерений (X, μ) последовательность точек (xn) считается равномерно распределенной по отношению к μ, если среднее значение точечных показателей слабо сходится к μ.
- В любой борелевской вероятностной мере на разделяемом, метризуемом пространстве существует равнораспределенная последовательность по отношению к мере.
-
Общее явление равнораспределения
- Часто встречается в динамических системах, связанных с группами Ли, например, в решении Маргулиса гипотезы Оппенгейма.
-
Смотрите также
- Теорема о равнораспределении
- Последовательность с низким уровнем расхождений
- Неравенство Эрдеша–Турана
-
Записи
- Рекомендации
- Дальнейшее чтение
- Внешние ссылки
- Критерий Вейля в PlanetMath
- Конспект лекции Чарльза Уокдена с доказательством критерия Вейля