Оглавление
Регулярная последовательность
-
Регулярная последовательность в коммутативной алгебре
- Регулярная последовательность элементов коммутативного кольца R — это последовательность, которая максимально независима.
- В геометрическом смысле, это замкнутая подсхема полного пересечения.
-
Определения и свойства
- Элемент r в R называется ненулевым делителем на M, если rm = 0 означает m = 0 для m в M.
- M-регулярная последовательность — это последовательность r1, …, rd, где r1 не является делителем на ноль в M, а ri не является делителем на ноль в M/(r1, …, ri−1)M для i = 2, …, d.
- R-регулярная последовательность называется просто регулярной последовательностью.
-
Примеры и приложения
- В интегральной области любое ненулевое значение f ∈ R дает регулярную последовательность.
- Локальное кольцо Z (p) имеет глубину 1, так как p не может быть расширено до более длинной регулярной последовательности.
- Элементы x1, …, xn в кольце многочленов A = k[x1, …, xn] образуют правильную последовательность, что означает глубину R не менее n.
- Регулярное локальное кольцо с максимальным идеалом m имеет глубину, равную размерности по Круллю.
-
Не являющиеся примерами
- Последовательность (xy, x2) элементов в C[x, y] с нетривиальным ядром не является регулярной.
-
Приложения
- Комплекс Кошуля является свободным разрешением R / (r1, …, rd) в виде R-модуля.
- Локальная подсхема полного пересечения Y любой схемы X имеет нормальное расслоение, даже если Y может быть сингулярным.