Риманова поверхность
-
Классификация римановых поверхностей
- Риманова поверхность – это двумерное многообразие с определенной римановой метрикой.
- Классификация основана на метрике постоянной кривизны и топологическом типе.
-
Геометрическая классификация
- Риманова поверхность классифицируется как эллиптическая, параболическая или гиперболическая в зависимости от знака постоянной кривизны.
- Эллиптическая поверхность имеет постоянную отрицательную кривизну, параболическая – постоянную нулевую кривизну, а гиперболическая – постоянную положительную кривизну.
-
Топологическая классификация
- Топологически риманова поверхность может быть классифицирована как плоскость, цилиндр или тор.
- В случае параболической поверхности существует три типа: сама плоскость, частное от плоскости и частное от плоскости с фиксированной точкой.
-
Аналитическая классификация
- Аналитически риманова поверхность может быть классифицирована как пространство Тейхмюллера или пространство модулей.
- Пространство Тейхмюллера включает топологические данные и может быть описано как пространство с фиксированным гомеоморфизмом тору.
- Пространство модулей – это аналитическое пространство, полученное путем деления пространства Тейхмюллера на классы отображений.
-
Отображения между римановыми поверхностями
- Отображения между римановыми поверхностями описываются теоремой Лиувилля и теоремой Литтла Пикара.
- Отображения от гиперболической к параболической и эллиптической поверхности легко преобразуются, но от эллиптической к параболической или от параболической к гиперболической ограничены.
-
Изометрии римановых поверхностей
- Группа изометрий римановой поверхности отражает ее геометрию и зависит от рода поверхности.
- Для рода 0 группа изометрий является группой Мебиуса, для рода 1 – сдвиговой группой, а для рода g ≥ 2 – конечной группой с ограниченным порядком.
-
Теоретико-функциональная классификация
- Существует альтернативная классификация римановых поверхностей, основанная на вырождении функциональных пространств.
- В этой классификации параболическая поверхность – это поверхность без непостоянных отрицательных субгармонических функций, а гиперболическая поверхность – это поверхность с вырожденными функциональными пространствами.