Оглавление
- 1 Счетное множество
- 1.1 Определение счетного множества
- 1.2 История и терминология
- 1.3 Примеры и свойства
- 1.4 Биективные отображения
- 1.5 Обобщение на n-кортежи
- 1.6 Инъекция и декартово произведение
- 1.7 Счетность целых и рациональных чисел
- 1.8 Счетность алгебраических чисел
- 1.9 Объединение счетных множеств
- 1.10 Счетность последовательностей и подмножеств
- 1.11 Функции и счетность
- 1.12 Неисчислимость и минимальная модель
- 1.13 Порядки и подмножества
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Счётное множество
Счетное множество
-
Определение счетного множества
- Множество является счетным, если оно либо конечно, либо может быть приведено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами.
- Эквивалентно, существует инъективная функция от множества к натуральным числам.
- Множество является счетно бесконечным, если его мощность равна мощности натуральных чисел.
-
История и терминология
- Георг Кантор доказал существование бесчисленных множеств, таких как множество действительных чисел.
- Термины “счетный” и “счетно бесконечный” не универсальны, возможны альтернативные определения.
-
Примеры и свойства
- Множество натуральных чисел является счетно бесконечным.
- Множество четных целых чисел также счетно бесконечно.
- Каждое счетно-бесконечное множество является счетным, и каждое бесконечное счетное множество является счетно-бесконечным.
- Подмножество счетного множества также является счетным.
-
Биективные отображения
- Биективное отображение между множеством и натуральными числами показывает, что множество является счетным.
- Примеры биективных отображений включают сопоставление элементов множества с натуральными числами.
-
Обобщение на n-кортежи
- Треугольное отображение рекурсивно обобщается на n-кортежи натуральных чисел.
- Пример: (0,2,3) может быть сопоставлено с (5,3), затем (5,3) с (39).
-
Инъекция и декартово произведение
- Инъекция из n-кортежей в натуральные числа доказана.
- Декартово произведение конечного числа счетных множеств является счетным.
-
Счетность целых и рациональных чисел
- Целые и рациональные числа являются счетными.
- Положительные рациональные числа могут быть сопоставлены с парами натуральных чисел.
-
Счетность алгебраических чисел
- Множество алгебраических чисел является счетным.
-
Объединение счетных множеств
- Объединение счетного числа счетных множеств является счетным при условии аксиомы счетного выбора.
-
Счетность последовательностей и подмножеств
- Множество всех последовательностей натуральных чисел конечной длины является счетным.
- Множество всех конечных подмножеств натуральных чисел является счетным.
-
Функции и счетность
- Если функция инъективна, то множество, на которое она отображает, является счетным.
- Если функция сюръективна, то множество, которое она отображает, является счетным.
-
Неисчислимость и минимальная модель
- Множество всех подмножеств натуральных чисел не поддается подсчету.
- Минимальная модель теории множеств является счетной.
-
Порядки и подмножества
- Счетные множества могут быть полностью упорядочены различными способами.
- В порядках скважин любое подмножество имеет наименьший элемент.
- В порядках без скважин некоторые подмножества не имеют наименьшего элемента.