Оглавление
Кривизна сечения
-
Основы римановой геометрии
- Риманова геометрия изучает геометрические свойства пространства, связанные с его метрикой.
- Метрика определяется как положительный тензор, который определяет расстояние между точками.
-
Римановы многообразия
- Риманово многообразие – это гладкое, связное и полное многообразие с определенной римановой метрикой.
- Примеры включают евклидово пространство, n-сферу и гиперболическое пространство.
-
Кривизна и изометрия
- Кривизна риманова многообразия определяет его постоянную кривизну.
- Изометрия – это преобразование, сохраняющее расстояние между точками.
-
Гиперболическая геометрия
- Изучение римановых многообразий с отрицательной кривизной называется гиперболической геометрией.
-
Теорема Топоногова
- Теорема Топоногова описывает, как выглядят “толстые” геодезические треугольники в искривленных пространствах.
-
Свойства кривизны
- Кривизна сечения полного риманова многообразия может быть неотрицательной или неположительной.
- Существуют теоремы сравнения между геодезическими треугольниками в искривленном пространстве и евклидовом пространстве.
-
Аспекты многообразий с неположительной кривизной
- Эли Картан доказал, что полное многообразие с неположительной кривизной имеет универсальное покрытие, диффеоморфное евклидову пространству.
- Фундаментальная группа такого многообразия определяет его топологическую структуру.
-
Коллекторы с положительной кривизной
- Структура положительно искривленных многообразий изучена слабо.
- Существуют теоремы, описывающие фундаментальную группу и ориентацию компактных положительно искривленных многообразий.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: