Кривизна сечения

• Основы римановой геометрии

  • Риманова геометрия изучает геометрические свойства пространства, связанные с его метрикой. 
  • Метрика определяется как положительный тензор, который определяет расстояние между точками. 

• Римановы многообразия

  • Риманово многообразие — это гладкое, связное и полное многообразие с определенной римановой метрикой. 
  • Примеры включают евклидово пространство, n-сферу и гиперболическое пространство. 

• Кривизна и изометрия

  • Кривизна риманова многообразия определяет его постоянную кривизну. 
  • Изометрия — это преобразование, сохраняющее расстояние между точками. 

• Гиперболическая геометрия

  • Изучение римановых многообразий с отрицательной кривизной называется гиперболической геометрией. 

• Теорема Топоногова

  • Теорема Топоногова описывает, как выглядят «толстые» геодезические треугольники в искривленных пространствах. 

• Свойства кривизны

  • Кривизна сечения полного риманова многообразия может быть неотрицательной или неположительной. 
  • Существуют теоремы сравнения между геодезическими треугольниками в искривленном пространстве и евклидовом пространстве. 

• Аспекты многообразий с неположительной кривизной

  • Эли Картан доказал, что полное многообразие с неположительной кривизной имеет универсальное покрытие, диффеоморфное евклидову пространству. 
  • Фундаментальная группа такого многообразия определяет его топологическую структуру. 

• Коллекторы с положительной кривизной

  • Структура положительно искривленных многообразий изучена слабо. 
  • Существуют теоремы, описывающие фундаментальную группу и ориентацию компактных положительно искривленных многообразий. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.