Отделяемый удлинитель
-
Разделяемые и неотделимые расширения
- Разделяемое расширение: минимальный многочлен элемента является сепарабельным.
- Неотделимое расширение: минимальный многочлен элемента не является сепарабельным.
- Большинство расширений в математике являются разделимыми.
-
Фундаментальная теорема теории Галуа
- Теорема верна при нулевой характеристике.
- Для ненулевой характеристики требуется, чтобы расширения были разделимыми.
-
Чисто неотделимые расширения
- Минимальные многочлены элементов не являются сепарабельными.
- Пример: E = Fp(x) ⊇ Fp(x^p).
-
Неформальная дискуссия о многочленах
- Многочлен имеет различные корни, если он имеет различные корни в расширении поля.
- Неприводимый многочлен может быть делимым на квадрат в расширении поля.
-
Разделяемые и неразделимые многочлены
- Неприводимый многочлен f разделим, если он имеет различные корни в любом расширении F.
- Формальная производная f’ от f не равна нулю.
- Неприводимый многочлен f неотделим, если характеристика F равна p и f(X) = g(Xp) для некоторого неприводимого многочлена g.
-
Эндоморфизм Фробениуса и совершенные поля
- Эндоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом, если существует неотделимый неприводимый многочлен.
- Поле F совершенно, если все неприводимые многочлены отделимы.
-
Разделяемые элементы и расширения
- Элемент α разделим над F, если его минимальный многочлен разделим.
- Расширение E отделимо, если E является отделимым замыканием F.
- Конечное расширение E отделимо, если оно генерируется разделяемыми элементами.
-
Нормальные расширения и гомоморфизмы
- Для любого нормального расширения K из F, содержащего E, существует ровно [E:F] гомоморфизмов полей E в K, которые фиксируют F.
- Эквивалентность 3. и 1. известна как теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах.
-
Разделимые расширения внутри алгебраических расширений
- Разделяемое замыкание F в E равно S = {α ∈ E | α является отделимым от F}.
- Для каждого элемента x ∈ E ∖ S существует такое положительное целое число k, что xpk ∈ S, и, таким образом, E является чисто неотделимым продолжением S.
- Если E ⊇ F является конечным расширением, его степень [E : F] равна произведению степеней [S : F] и [E : S].
-
Отделимость трансцендентных расширений
- Проблемы с отделимостью могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями.
- Разделяющая трансцендентная основа расширения E ⊇ F является базисом трансцендентности T для E таким, что E является отделимым алгебраическим расширением F (T).
- Конечно порожденное расширение поля является отделимым тогда и только тогда, когда оно имеет разделяющий базис трансцендентности.
-
Дифференциальные критерии
- Отделимость может быть изучена с помощью производных.
- Обозначающий DerF(E,E) в E-векторном пространстве F-линейных производных от E имеет равенство тогда и только тогда, когда E отделимо от F.
- В частности, если E/F является алгебраическим расширением, то DerF(E,E) = 0 тогда и только тогда, когда E/F является отделимым.