Симплектоморфизм

• Определение симплектоморфизма

  • Симплектоморфизм — это изоморфизм в категории симплектических многообразий. 
  • В классической механике симплектоморфизм сохраняет объем и симплектическую структуру. 

• Формальное определение симплектоморфизма

  • Диффеоморфизм между симплектическими многообразиями называется симплектоморфизмом, если его обратный является обратным. 
  • Группа симплектоморфизмов — это группа, состоящая из симплектоморфизмов из многообразия в себя. 

• Бесконечно малые версии симплектоморфизмов

  • Векторные поля, порожденные симплектическими функциями, называются симплектическими. 
  • Поток векторного поля является симплектоморфизмом. 

• Примеры симплектоморфизмов

  • Примеры включают канонические преобразования в классической механике и физике, а также отображение на кокасательные расслоения. 

• Группы симплектоморфизмов

  • Группа симплектоморфизмов является псевдогруппой, а гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу. 
  • Группа гамильтоновых симплектоморфизмов имеет естественную геометрию и может быть вычислена с использованием теории псевдоголоморфных кривых Громова. 

• Сравнение с римановой геометрией

  • Симплектические многообразия менее жесткие, чем римановы, и все симплектические многообразия одной размерности локально изоморфны. 
  • Группа изометрий риманова многообразия является группой Ли, в то время как группа симплектоморфизмов всегда бесконечномерна. 

• Квантования и гипотеза Арнольда

  • Представления подгрупп группы симплектоморфизмов в гильбертовых пространствах называются квантованиями. 
  • Гипотеза Арнольда связывает минимальное количество неподвижных точек гамильтонова симплектоморфизма с числом критических точек на многообразии. 

• В массовой культуре

  • Слово «симплектоморфизм» встречается в кроссворде аниме «Семейка шпионов ×».