Оглавление
Система соседства
-
Определение окрестностей
- Окрестности точки или множества — это открытые подмножества, содержащие эту точку.
- Окрестность точки — это любое подмножество, содержащее открытую окрестность этой точки.
- Окрестности могут быть открытыми, замкнутыми, компактными и т.д.
-
Фильтр окрестностей
- Система окрестностей для точки — это фильтр, называемый фильтром окрестностей.
- Фильтр окрестностей для одноэлементного набора — это фильтр окрестностей для этой точки.
-
Основа соседства
- Основа соседства — это подмножество фильтра окрестностей, такое, что для любого района существует подходящий район из основы.
- Основа соседства эквивалентна фильтру окрестностей, который может быть восстановлен из этой основы.
-
Примеры окрестностей
- В евклидовой топологии окрестности нуля — это множества, содержащие интервал (-r, r) для некоторого r > 0.
- В метрическом пространстве последовательность открытых шаров образует счетную основу соседства.
-
Свойства окрестностей
- В полунормированном пространстве система окрестностей для любой точки может быть построена через систему окрестностей для начала координат.
- В топологических группах и псевдометрических пространствах топология определяется системой окрестностей в начале координат.
-
Дополнительные понятия
- База (топология) — набор открытых множеств, используемых для определения топологии.
- Фильтр (теория множеств) — семейство множеств, представляющих собой “большие” множества.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство — векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Трубчатая окрестность — окрестность подмногообразия, гомеоморфная обычным страницам связки этого подмногообразия.