Скалярная кривизна
-
Обзор статьи
- Статья посвящена теореме о положительной скалярной кривизне и её следствиях.
- Скалярная кривизна является важным понятием в римановой геометрии и топологии.
- Теорема утверждает, что на замкнутых многообразиях с положительной скалярной кривизной существует риманова метрика.
-
История и развитие
- Теорема была сформулирована в 1954 году и доказана в 1960 году.
- В 1962 году Григорий Перельман предложил конструкцию потока Риччи с хирургическим вмешательством, которая является прямым следствием теоремы.
- В 1970-х годах были получены результаты о существовании метрик с положительной скалярной кривизной для односвязных многообразий.
- В 2000-х годах были разработаны методы, позволяющие доказать существование таких метрик для многообразий с более высокой размерностью.
-
Теорема о трихотомии Кэздана и Уорнера
- Скалярная кривизна может быть отрицательной, нулевой или положительной.
- Многообразия с отрицательной скалярной кривизной являются сильно скалярно-плоскими и имеют специальные свойства.
- Существуют примеры многообразий с группами голономии, которые являются скалярно-плоскими, но не сильно скалярно-плоскими.