Оглавление
- 1 Микширование (математика)
- 1.1 Определение смешивания
- 1.2 Сильное смешивание
- 1.3 Слабое смешивание
- 1.4 Топологическое смешивание
- 1.5 Эргодичность
- 1.6 Смешивание в динамических системах
- 1.7 Сильное и слабое перемешивание
- 1.8 Охватывающие семейства
- 1.9 Проверка строгого смешивания
- 1.10 Свойства эргодичности, слабого и сильного перемешивания
- 1.11 Продукты динамических систем
- 1.12 Обобщения и примеры
- 1.13 Топологическое смешивание
- 1.14 Перемешивание в случайных процессах
- 1.15 Процесс интенсивного перемешивания
- 1.16 Перемешивание в марковских процессах
- 1.17 Коэффициенты α-перемешивания
- 1.18 Коэффициенты β-смешивания
- 1.19 Рекомендации
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Смешивание (математика)
Микширование (математика)
-
Определение смешивания
- Смешивание — это абстрактное понятие, заимствованное из физики.
- Оно описывает необратимый термодинамический процесс смешивания.
- Существует несколько определений смешивания, включая сильное, слабое и топологическое.
-
Сильное смешивание
- Сильное смешивание подразумевает слабое смешивание.
- Слабое смешивание подразумевает эргодичность.
- Сильное смешивание требует, чтобы объем подмножеств сохранялся при смешивании.
-
Слабое смешивание
- Слабое смешивание требует, чтобы объем подмножеств не изменялся при смешивании.
-
Топологическое смешивание
- Топологическое смешивание не требует определения меры.
- Оно требует, чтобы пересечение подмножеств сохранялось при смешивании.
-
Эргодичность
- Эргодичность — это свойство системы, при котором все подмножества посещают все пространство.
- Эргодическая система может быть разделена на консервативную и диссипативную части.
-
Смешивание в динамических системах
- Динамическая система, сохраняющая меру, описывается как (X, A, μ, T).
- Сильное перемешивание требует, чтобы объем подмножеств сохранялся при смешивании.
- Слабое перемешивание требует, чтобы объем подмножеств не изменялся при смешивании.
-
Сильное и слабое перемешивание
- Сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание и эргодичность.
- Слабое перемешивание подразумевает эргодичность, но обратное неверно.
- Система Чакон является примером слабого, но не сильного перемешивания.
-
Охватывающие семейства
- В топологических пространствах можно построить меру, используя открытые множества.
- Мера Лебега определяется на борелевских множествах.
- В эргодической теории часто используется мера Лебега.
-
Проверка строгого смешивания
- Для пространств меры Лебега, если T сохраняет меру и limnμ(T-n(A)∩B) = μ(A)μ(B) для всех A,B, то T сильно перемешивается.
-
Свойства эргодичности, слабого и сильного перемешивания
- Эргодичность эквивалентна сходимости последовательности (f∘Tn)n≥0 к интегралу f dμ.
- Слабое перемешивание требует сходимости последовательности (f∘Tn)n≥0 к интегралу f dμ для всех функций f и g.
- Сильное перемешивание требует сходимости последовательности (f∘Tn)n≥0 к интегралу f dμ для всех функций f и g, а также ковариации limn→∞ Cov(f∘Tn,g) = 0.
-
Продукты динамических систем
- Можно построить динамическую систему (X×Y, μ⊗ν, T×S) на декартовом произведении.
- Слабое перемешивание в (X×Y) подразумевает слабое перемешивание в X и слабое перемешивание в Y.
-
Обобщения и примеры
- Сильное двухкомпонентное смешивание отличается от сильного k-смешивания.
- Сильное k-смешивание подразумевает эргодичность.
- Примеры: иррациональные вращения окружности, диадическое отображение, отображение кота Арнольда.
-
Топологическое смешивание
- Непрерывная карта f:X→X называется топологически транзитивной, если для каждой пары открытых множеств A,B существует целое число n такое, что fn(A) ∩ B ≠ ∅.
- Система называется топологически смешанной, если для заданных открытых множеств A и B существует целое число N такое, что для всех n > N, fn(A) ∩ B ≠ ∅.
-
Перемешивание в случайных процессах
- Стохастический процесс (Xt)−∞<t<∞ может быть наделен топологией продукта.
- Сильный коэффициент смешивания α определяется как lims→∞ α(Xsa,Xb) = 1 для всех −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞.
-
Процесс интенсивного перемешивания
- Процесс (Xt) считается сильно перемешивающимся, если α(s) → 0 при s → ∞.
- Процесс стремится к однородности и независимости событий.
-
Перемешивание в марковских процессах
- Процесс (Xt) является стационарным марковским процессом со стационарным распределением Q.
- L2(Q) обозначает пространство борелевских измеримых функций.
- ρ-коэффициенты смешивания процесса (xt) сходятся к нулю при t → ∞.
-
Коэффициенты α-перемешивания
- Процесс называется α-смешиванием, если коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞.
- α-смешивание с экспоненциальной скоростью затухания: pt < e−δt для δ > 0.
- α-смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания: pt < ∞(t) для ξ, удовлетворяющей условию при t → ∞.
-
Коэффициенты β-смешивания
- Процесс называется β-смешиванием, если коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞.
- β-смешивание с экспоненциальной скоростью затухания: βt < ye−δt для δ > 0.
- β-смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания: βt ∞(t) → 0 для ξ, удовлетворяющей условию при t → ∞.
-
Рекомендации
- V. Я. Арнольд и А. Авез, Эргодические задачи классической механики (1968).
- У. A. Бенджамин, Инк. Einsiedler Манфред и Томас Уорд, эргодической теории с целью теории чисел (2011).