Совершенное число
-
Определение совершенных чисел
- Совершенное число — это целое положительное число, равное сумме своих собственных положительных делителей.
- Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496 и 8128.
- Сумма собственных делителей числа называется его общей суммой.
-
История и развитие
- Евклид доказал правило образования четных совершенных чисел.
- Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют форму 2p-1(2p-1).
- Никомах утверждал, что каждое совершенное число имеет вид 2n-1(2n-1), где n — простое число.
-
Четные совершенные числа
- Четные совершенные числа генерируются по формуле 2p-1(2p-1), где p — простое число.
- Простые числа вида 2p-1 называются простыми числами Мерсенна.
- Существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна.
-
Свойства четных совершенных чисел
- Каждое четное совершенное число является (2p-1)-м треугольным числом и 2p-1-м шестиугольным числом.
- Каждое четное совершенное число, кроме 6, является 2p+1/3-м центрированным неагональным числом.
- Четные совершенные числа (кроме 6) имеют вид T2p-1 = 1 + (2p-2) × (2p+1)/2.
-
Нечетные совершенные числа
- Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа.
- Жак Лефевр утверждал, что правило Евклида дает все совершенные числа, подразумевая, что нечетных совершенных чисел не существует.
- Эйлер утверждал, что «будь… [SEP]»
-
Существование нечетных совершенных чисел
- Карл Померанс предположил, что нечетных совершенных чисел не существует.
- Все совершенные числа также являются числами гармонического делителя.
- Пейс Нильсен предположил, что изучение чисел Декарта может привести к доказательству отсутствия нечетных совершенных чисел.
-
Условия для нечетных совершенных чисел
- N > 101500.
- N не делится на 105.
- N имеет вид N ≈ 1 (по модулю 12), или N ≈ 117 (по модулю 468), или N ≈ 81 (по модулю 324).
- Наибольший простой множитель числа N больше 108 и меньше 3N3.
- Второй по величине простой множитель больше, чем 104, и меньше, чем 2N5.
- Третий по величине простой множитель больше 100 и меньше 2N6.
- N имеет по меньшей мере 101 простой множитель и по меньшей мере 10 различных простых множителей.
- N имеет вид q, p1, …, pk — разные нечетные простые числа (Эйлера).
- q ∈ α ∈ 1 (по модулю 4) (Эйлер).
- Наименьший простой множитель числа N равен не более k-1/2.
- По крайней мере, одна из простых степеней деления N превышает 1062.
- N < 2(4k+1-2k+1).
- α + 2e1 + 2e2 + 2e3 + ⋯ + 2ek ≥ 99k-224/37.
- qp1p2p3⋯pk < 2N17/26.
- 1/q + 1/p1 + 1/p2 + ⋯ + 1/pk > ln k/2ln 2.
-
Незначительные результаты
- Не все ei равны 1 (mod 3).
- Не все ei равны 2 (мод 5).
- Если все ei равны 1 (по модулю 3) или 2 (по модулю 5), то наименьший простой множитель числа N должен находиться между 108 и 101000.
- Если (e1, …, ek) = (1, …, 1, 2, …, 2) с t единицами и u двойками, то (t-1)/4 ≤ u ≤ 2t+α.
- (e1, …, ek) ≠ (1, …, 1, 3), (1, …, 1, 5), (1, …, 1, 6).
- e не может быть 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 или 18.
- k ≤ 2e2 + 8e + 2 и N < 242e2 + 8e + 3.
-
История и связанные понятия
- Евклид упоминал совершенные числа в «Началах».
- Совершенные числа также являются S-совершенными числами, или числами Грэнвилла.
- Полусовершенное число — это натуральное число, равное сумме всех или некоторых его собственных делителей.
- Наиболее распространенные числа также являются полусовершенными.