Оглавление
- 1 Когерентный пучок
- 1.1 Определение когерентных пучков
- 1.2 Свойства когерентных пучков
- 1.3 Основные конструкции когерентных пучков
- 1.4 Когерентные пучки и их свойства
- 1.5 Идеальные снопы и их свойства
- 1.6 Структурные пучки и их свойства
- 1.7 Операции с когерентными пучками
- 1.8 Квазикогерентные пучки и их свойства
- 1.9 Морфизмы и когерентные пучки
- 1.10 Локальное поведение когерентных пучков
- 1.11 Векторные расслоения и их примеры
- 1.12 Линейные расслоения на проективном пространстве
- 1.13 Линейные пучки на проективном пространстве
- 1.14 Алгебраическое описание когерентных пучков
- 1.15 Касательное расслоение и векторные расслоения
- 1.16 Построение Серра и векторные расслоения
- 1.17 Классы Черна и алгебраическая K-теория
- 1.18 Применения свойства разрешения
- 1.19 Вычисление общего класса Черна
- 1.20 Различие между гомоморфизмами расслоений и пучков
- 1.21 Категория квазикогерентных пучков
- 1.22 Когерентные когомологии
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Связный пучок
Когерентный пучок
-
Определение когерентных пучков
- Когерентные пучки — это снопы от O-модулей, удовлетворяющие определенным свойствам.
- Они образуют абелеву категорию и закрываются при операциях, таких как получение ядер, изображений и коядер.
- Квазикогерентные пучки — это обобщение когерентных пучков, включающее локально свободные пучки бесконечного ранга.
-
Свойства когерентных пучков
- Когерентные пучки на схеме эквивалентны пучкам, связанным с модулями над аффинными подсхемами.
- Когерентные пучки образуют абелеву категорию на любом окруженном пространстве.
- Прямая сумма двух когерентных пучков также является когерентным.
- Подмодуль когерентного пучка является когерентным, если он имеет конечный тип.
-
Основные конструкции когерентных пучков
- Векторные расслоения — это локально свободные пучки конечного ранга.
- Векторные расслоения на проективных схемах связаны с конечно порожденными проективными модулями.
- Градуированные модули над нетеровыми кольцами определяют квазикогерентные пучки.
- Линейные пучки — это обратимые пучки, связанные с градуированными модулями.
-
Когерентные пучки и их свойства
- Когерентные пучки — это пучки, которые сохраняют линейные операции.
- Примеры когерентных пучков: O(n) на проективном пространстве, O(1) на аффинной линии.
- Когерентные пучки имеют постоянное волокно в открытых множествах.
-
Идеальные снопы и их свойства
- Идеальные снопы — это пучки, состоящие из функций, исчезающих при замкнутых подмножествах.
- Идеальные снопы являются последовательными, если подмножество замкнуто.
- Идеальные снопы на комплексных аналитических пространствах также последовательны.
-
Структурные пучки и их свойства
- Структурные пучки — это связные пучки, которые можно рассматривать как прямые пучки изображений.
- Структурные пучки имеют нулевое волокно в точках открытого множества и волокно размерности 1 в точках замкнутого подмножества.
-
Операции с когерентными пучками
- Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки.
- Примеры операций: тензорные произведения и гомоморфизмы.
-
Квазикогерентные пучки и их свойства
- Квазикогерентные пучки — это пучки, которые могут быть когерентными при определенных условиях.
- Примеры квазикогерентных пучков: расширение с помощью нулевого функтора.
-
Морфизмы и когерентные пучки
- Морфизмы схем сохраняют когерентные пучки, если они локально нетеровы.
- Примеры морфизмов: проективные и аффинные морфизмы.
-
Локальное поведение когерентных пучков
- Размерность слоев когерентного пучка полунепрерывна в верхней части.
-
Векторные расслоения и их примеры
- Векторные расслоения — это когерентные пучки с постоянным рангом в открытых множествах.
- Примеры векторных расслоений: кокасательный пучок, касательный пучок, каноническое расслоение.
-
Линейные расслоения на проективном пространстве
- Линейные расслоения на проективном пространстве — это пучки, однородные по степени.
- Примеры линейных расслоений: O(j) для целых чисел j.
-
Линейные пучки на проективном пространстве
- Каждый однородный многочлен степени j над R может рассматриваться как глобальный раздел O(j) над Pn.
- Замкнутые подсхемы проективного пространства определяются как нулевые множества однородных многочленов.
- Регулярные функции в проективном пространстве являются константами, что делает важными линейные пучки O(j).
-
Алгебраическое описание когерентных пучков
- Серр дал алгебраическое описание когерентных пучков на Pn через градуированные S-модули.
- Каждый связный пучок на Pn возникает из конечно порожденного градуированного S-модуля.
- Абелева категория когерентных пучков является частным от категории конечно порожденных градуированных S-модулей.
-
Касательное расслоение и векторные расслоения
- Касательное расслоение Pn над полем k изоморфно O(1).
- Каноническая связка KPn изоморфна O(-n-1), что означает, что Pn является многообразием Фано.
- Векторные расслоения на гиперповерхностях определяются через точные последовательности.
-
Построение Серра и векторные расслоения
- Конструкция Серра устанавливает соответствие между векторными расслоениями 2-го ранга и подмногообразиями коразмерности 2.
- Соответствие задается когомологическим условием на линейном расслоении ∧2E.
- Линейный пучок ωX ⊗ ∧2E|V(s) изоморфен каноническому расслоению ωV(s) на V(s).
-
Классы Черна и алгебраическая K-теория
- Векторное расслоение E на гладком многообразии X имеет классы Черна в CHi(X) для i ≥ 0.
- Классы Черна зависят только от класса E в группе Гротендика K0(X).
- K0(X) является частным от свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений.
- G0(X) (или K0′(X)) является группой когерентных пучков Гротендика на X.
- Естественный гомоморфизм K0(X) → G0(X) является изоморфизмом для регулярных разделенных нетеровых схем.
-
Применения свойства разрешения
- Свойство разрешающей способности утверждает, что когерентный пучок E на нетеровой схеме квазиизоморфен комплексу векторных расслоений Ek → ⋯ → E1 → E0.
-
Вычисление общего класса Черна
- Формула полезна для нахождения классов Черна в связке, представляющей подсхему X.
- Пример: проективная схема Z, ассоциированная с идеалом (xy, xz) ⊆ C[x, y, z, w].
-
Различие между гомоморфизмами расслоений и пучков
- Векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо.
- Гомоморфизм расслоений φ: E → F является морфизмом схемы, удовлетворяющим условию φx: p−1(x) → q−1(x) является линейной картой ранга, не зависящей от x.
- Гомоморфизм пучков φ~: E → F постоянного ранга между соответствующими локально свободными OX-модулями.
- Проблема: OX-гомоморфизмы модулей могут не возникать таким образом, например, подгруппа E ⊆ F может не быть подпучком.
-
Категория квазикогерентных пучков
- Квазикогерентные пучки образуют абелеву категорию на любой фиксированной схеме.
- Габбер показал, что квазикогерентные пучки образуют категорию Гротендика.
- Квазикомпактная квазиразделенная схема X определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на X.
-
Когерентные когомологии
- Теория когомологий когерентных пучков является фундаментальным инструментом в алгебраической геометрии.
- Когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами.
- Основные результаты: конечномерность когомологий, исчезновение когомологий, двойственность Серра, соотношения между топологией и алгебраической геометрией, формулы для эйлеровых характеристик.