Оглавление
- 1 Тензорное произведение представлений
- 1.1 Определение тензорного произведения представлений
- 1.2 Тензорные произведения для алгебры Ли
- 1.3 Квантовые группы и перестановочные карты
- 1.4 Действие с линейными картами
- 1.5 Тривиальное представление и полупростые подалгебры
- 1.6 Теория Клебша–Гордана
- 1.7 Примеры для SU(2) и SU(3)
- 1.8 Тензорная мощность и симметричные квадраты
- 1.9 Симметричные и внешние силы
- 1.10 Дуальность Шура–Вейля
- 1.11 Функтор Шура
- 1.12 Тензорные произведения с функторами Шура
- 1.13 Представления тензорных продуктов
- 1.14 Дополнительные ресурсы
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Тензорное произведение представлений
Тензорное произведение представлений
-
Определение тензорного произведения представлений
- Тензорное произведение представлений — это тензорное произведение векторных пространств с групповым действием.
- Действие определяется условием, что для всех элементов V1 и V2 выполняется условие.
- Универсальное свойство тензорного произведения гарантирует, что действие четко определено.
-
Тензорные произведения для алгебры Ли
- Тензорное произведение представлений алгебры Ли задается отображением π1 ⊗ π2: g → End(V1 ⊗ V2).
- Это отображение называется суммой Кронекера.
-
Квантовые группы и перестановочные карты
- Для квантовых групп копроизведение не является ко-коммутативным.
- Отображение перестановок остается изоморфизмом векторных пространств.
-
Действие с линейными картами
- Пространство линейных отображений из V1 в V2 можно задать как представление.
- Существует естественный изоморфизм представлений.
-
Тривиальное представление и полупростые подалгебры
- Тривиальное представление состоит из G-линейных отображений.
- Основная теорема теории инвариантов утверждает, что полупростые подалгебры существуют при характеристике базового поля, равной нулю.
-
Теория Клебша–Гордана
- Тензорное произведение неприводимых представлений обычно неприводимо.
- Проблема Клебша–Гордана заключается в разложении тензорного произведения на неприводимые части.
-
Примеры для SU(2) и SU(3)
- В случае SU(2) неприводимые представления описываются параметром ℓ.
- В случае SU(3) все неприводимые представления генерируются из стандартного и двойственного представлений.
-
Тензорная мощность и симметричные квадраты
- Можно определить k-ю тензорную степень представления как векторное пространство V⊗k.
- Симметричные и чередующиеся квадраты являются подпредставлениями второй степени тензора.
-
Симметричные и внешние силы
- Над полем с нулевой характеристикой можно определить k-ю симметричную степень и k-ю внешнюю мощность.
- Они также являются подпредставлениями, но более высокие тензорные степени не разлагаются как их прямая сумма.
-
Дуальность Шура–Вейля
- Дуальность Шура–Вейля вычисляет неприводимые представления в тензорных степенях представлений общей линейной группы.
-
Функтор Шура
- Обобщает конструкции симметричных и внешних степеней
- В качестве G-модуля упрощается до
- Множественность mλ может быть вычислена по формуле Фробениуса
-
Тензорные произведения с функторами Шура
- Функторы Шура Sλ дают разложение k[Hom(V, W)]
- Разложение можно отождествить с кольцом полиномиальных функций
-
Представления тензорных продуктов
- Тензорное произведение двух представлений G можно рассматривать как представление G×G
- Тензорное произведение неприводимых представлений G несводимо как представление G×G
-
Дополнительные ресурсы
- Математический портал
- Двойное представительство
- Отшельническая взаимность
- Коэффициенты Клебша–Гордана
- Представление группы Ли
- Представление алгебры Ли
- Продукт Kronecker
- Алгебра Хопфа