Оглавление
- 1 Теорема Безу
- 1.1 Теорема Безу
- 1.2 Современная формулировка
- 1.3 История
- 1.4 Современные исследования
- 1.5 Плоские кривые
- 1.6 Аффинный случай
- 1.7 Примеры
- 1.8 Теорема Безу и точки пересечения
- 1.9 Множественность и кратность
- 1.10 Современные определения кратности
- 1.11 Доказательства теоремы Безу
- 1.12 Дополнительные теоремы
- 1.13 Стили и форматирование
- 1.14 Значки и логотипы
- 1.15 Корпусные и внешние ссылки
- 1.16 Библиографическое описание и рекомендации
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Теорема Безу – Arc.Ask3.Ru
Теорема Безу
-
Теорема Безу
- Утверждает, что число общих нулей n многочленов равно произведению их степеней.
- Названа в честь Этьена Безу.
- В элементарной формулировке относится к случаю двух переменных.
-
Современная формулировка
- Число общих точек над алгебраически замкнутым полем равно произведению степеней многочленов.
- Конечный случай встречается почти всегда.
- В случае двух переменных и аффинных гиперповерхностей дает верхнюю границу числа точек.
-
История
- Сформулирована Исааком Ньютоном в 1687 году.
- Общая теорема опубликована Этьеном Безу в 1779 году.
- Доказательство Безу не соответствовало современным требованиям строгости.
-
Современные исследования
- Жан-Пьер Серр дал чисто алгебраическое определение кратностей в 1958 году.
- Современные исследования позволяют получить верхние оценки системы многочленов.
-
Плоские кривые
- Две кривые имеют произведение степеней точек пересечения.
- В аффинном случае число точек пересечения равно произведению степеней.
-
Аффинный случай
- В аффинном пространстве может быть конечное число точек пересечения с бесконечным числом на бесконечности.
- Сумма кратностей изолированных точек пересечения равна произведению степеней.
-
Примеры
- Две прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
- Прямая и кривая: кратность пересечения зависит от частных производных многочлена.
- Два конических сечения пересекаются в четырех точках.
-
Теорема Безу и точки пересечения
- Две окружности пересекаются в двух точках, но теорема Безу предсказывает четыре точки.
- Расхождение связано с тем, что окружности проходят через одни и те же точки на бесконечности.
- В однородных координатах окружности пересекаются в точках (1 : i : 0) и (1 : –i : 0).
-
Множественность и кратность
- Понятие множественности важно для теоремы Безу.
- Кратность общего нуля многочленов — это число нулей, на которые он может быть разделен при незначительном изменении коэффициентов.
- Кратность касания — это число точек, на которые кривая разделяется при незначительном перемещении.
-
Современные определения кратности
- Кратность обычно определяется как длина локального кольца, связанного с точкой.
- Большинство конкретных определений кратности являются частным случаем определения Серра.
-
Доказательства теоремы Безу
- Доказательство с использованием результирующего результата: результирующий многочлен R(x, t) равен нулю тогда и только тогда, когда существует общий нуль P и Q.
- Доказательство с использованием U-результирующей: U-результирующая разлагается на линейные множители, соответствующие общим нулям P и Q.
- Доказательство с использованием степени идеала: теорема о пересечении проективного алгебраического множества и гиперповерхности.
-
Дополнительные теоремы
- Многооднородная теорема Безу
- Теорема AF + BG
- Теорема Бернштейна–Кушниренко
-
Стили и форматирование
- Использование наследования шрифта и переноса слов
- Применение различных котировок и фоновых цветов
- Использование идентификаторов для различных типов блокировок
-
Значки и логотипы
- Применение значков и логотипов для различных типов блокировок
- Использование значков и логотипов для Викимедиа
-
Корпусные и внешние ссылки
- Настройка различных типов ссылок и их оформление
- Использование различных шрифтов и цветов для различных элементов
-
Библиографическое описание и рекомендации
- Настройка библиографического описания и ссылок
- Рекомендации по альтернативным переводам и внешним ссылкам