Оглавление
Теорема Денжоя–Карлемана–Альфорса
-
Теорема Денжуа-Карлемана-Альфорса
- Число асимптотических значений непостоянной полной функции порядка ρ на кривых ограничено 2ρ.
- Арно Денжуа выдвинул предположение в 1907 году.
- Торстен Карлеман уточнил, что число асимптотических значений не превышает (5/2)ρ в 1921 году.
- Ларс Альфорс подтвердил гипотезу в 1929 году.
- Карлеман опубликовал короткое доказательство в 1933 году.
-
Определение асимптотического значения
- Асимптотическое значение функции не стремится к 1 при приближении к определенной точке, а приближается к нему вдоль кривой.
- Примеры функций с одним асимптотическим значением: exp(z) и sin(z)/z.
- Синусоидальный интеграл Si(z) имеет два асимптотических значения.
- Функции порядка 2 с четырьмя асимптотическими значениями: a sin(z^2)/z + b sin(z^2)/z^2.
- Общий случай: f(z) = ∫0^z sin(ζ^ρ)/ζ^ρ dζ, где ρ – положительное целое число, имеет 2ρ асимптотических значений.
-
Применение к многочленам
- Теорема применима к непостоянным многочленам, но не к постоянным.
- Постоянный многочлен имеет асимптотическое значение 1 и порядок 0.